Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在進行他們眾多旅行中的一次旅行，他們決定去參觀一座城堡博物館。這座博物館有著特別的樣式。它包含由m條走廊連線的n間房間，並且滿足可以從任何一間房間到任何一間別的房間。 兩個人在博物館裡逛了一會兒後兩人決定分頭行動，去看各自感興趣的藝術品。他們約定在下午六點到一間房間會合。然而他們忘記了一件重要的事：他們並沒有選好在哪兒碰面。等時間到六點，他們開始在博物館裡到處亂跑來找到對方（他們沒法給對方打電話因為電話漫遊費是很貴的） 不過，儘管他們到處亂跑，但他們還沒有看完足夠的藝術品，因此他們每個人採取如下的行動方法：每一分鐘做決定往哪裡走，有Pi 的概率在這分鐘內不去其他地方（即呆在房間不動），有1-Pi 的概率他會在相鄰的房間中等可能的選擇一間並沿著走廊過去。這裡的i指的是當期所在房間的序號。在古代建造是一件花費非常大的事，因此每條走廊會連線兩個不同的房間，並且任意兩個房間至多被一條走廊連線。 兩個男孩同時行動。由於走廊很暗，兩人不可能在走廊碰面，不過他們可以從走廊的兩個方向通行。（此外，兩個男孩可以同時地穿過同一條走廊卻不會相遇）兩個男孩按照上述方法行動直到他們碰面為止。更進一步地說，當兩個人在某個時刻選擇前往同一間房間，那麼他們就會在那個房間相遇。 兩個男孩現在分別處在a，b兩個房間，求兩人在每間房間相遇的概率。

Input

第一行包含四個整數，n表示房間的個數;m表示走廊的數目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示兩個男孩的初始位置。 之後m行每行包含兩個整數，表示走廊所連線的兩個房間。 之後n行每行一個至多精確到小數點後四位的實數 表示待在每間房間的概率。 題目保證每個房間都可以由其他任何房間通過走廊走到。

Output

輸出一行包含n個由空格分隔的數字，注意最後一個數字後也有空格，第i個數字代表兩個人在第i間房間碰面的概率（輸出保留6位小數） 注意最後一個數字後面也有一個空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

對於100%的資料有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

Solution

雖然是個sb題但是$1A$就很得勁了。因為省的調了

設$ans_{x,y}$表示第一個人在$x$點，第二個人在$y$點的概率。同時設$fx,fy$分別為$x$和$y$的相鄰點，$d_i$表示$i$點的度數。

那麼就有公式

$ans_{x,y}=p_x\times p_y\times ans_{x,y}$（兩個人都停在原地）
$~~~~~~~~~~~~~~+(1-p_x)\times(1-p_y)\times\sum ans_{fx,fy}\times\frac{1}{d_{fx}\times d_{fy}}$（兩個人都走）
$~~~~~~~~~~~~~~+p_x\times(1-p_y)\times\sum ans_{x,fy}\times\frac{1}{d_{fy}}$（只有第二個人走）
$~~~~~~~~~~~~~~+(1-p_x)\times p_y\times\sum ans_{fx,y}\times\frac{1}{d_{fx}}$（只有第一個人走）

把每一個$ans_{x,y}$看做一個未知數，然後就可以列出來$n^2$個方程組。高斯消元一下就可以求出來每一個$ans_{x,y}$了。

注意構造矩陣的時候可能狀態$(fx,fy)$已經結束了（也就是$fx=fy$）所以不能從那裡轉移來。

Code

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #define N (409)
 5 using namespace std;
 6 
 7 struct Node{int x,y;}A[N];
 8 struct Edge{int to,next;}edge[N];
 9 double f[N][N],ans[N],p[N];
10 int n,m,s,e,u,v,c,id_num,id[N][N];
11 int head[N],Ind[N],num_edge;
12 
13 void add(int u,int v)
14 {
15     Ind[v]++;
16     edge[++num_edge].to=v;
17     edge[num_edge].next=head[u];
18     head[u]=num_edge;
19 }
20 
21 void Build()
22 {
23     for (int i=1; i<=c; ++i)
24     {
25         int x=A[i].x,y=A[i].y;
26         if (x!=y) f[i][i]=(1-p[x]*p[y]);
27         else f[i][i]=1;
28         for (int j=head[x]; j; j=edge[j].next)
29             for (int k=head[y]; k; k=edge[k].next)
30             {
31                 int fx=edge[j].to,fy=edge[k].to;
32                 if (fx==fy) continue;
33                 f[i][id[fx][fy]]=-1.0/(Ind[fx]*Ind[fy])*(1-p[fx])*(1-p[fy]);
34             }
35         for (int j=head[x]; j; j=edge[j].next)
36         {
37             int fx=edge[j].to;
38             if (fx==y) continue;
39             f[i][id[fx][y]]=-1.0/(Ind[fx])*(1-p[fx])*p[y];
40         }
41         for (int j=head[y]; j; j=edge[j].next)
42         {
43             int fy=edge[j].to;
44             if (x==fy) continue;
45             f[i][id[x][fy]]=-1.0/(Ind[fy])*p[x]*(1-p[fy]);
46         }
47         if (x==s && y==e) f[i][c+1]=1;
48     }
49 }
50 
51 void Gauss()
52 {
53     for (int i=1; i<=c; ++i)
54     {
55         int num=i;
56         for (int j=i+1; j<=c; ++j)
57             if (fabs(f[j][i])>fabs(f[num][i])) num=j;
58         if (num!=i) swap(f[i],f[num]);
59         for (int j=i+1; j<=c; ++j)
60         {
61             double t=f[j][i]/f[i][i];
62             for (int k=i; k<=c+1; ++k)
63                 f[j][k]-=t*f[i][k];
64         }
65     }
66     for (int i=c; i>=1; --i)
67     {
68         for (int j=i+1; j<=c; ++j)
69             f[i][c+1]-=f[i][j]*ans[j];
70         ans[i]=f[i][c+1]/f[i][i];
71     }
72 }
73 
74 int main()
75 {
76     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&e);
77     for (int i=1; i<=m; ++i)
78     {
79         scanf("%d%d",&u,&v);
80         add(u,v); add(v,u);
81     }
82     for (int i=1; i<=n; ++i)
83         scanf("%lf",&p[i]);
84     for (int i=1; i<=n; ++i)
85         for (int j=1; j<=n; ++j)
86         {
87             id[i][j]=++c;
88             A[c]=(Node){i,j};
89         }
90     Build();
91     Gauss();
92     for (int i=1; i<=n; ++i)
93         printf("%.6lf ",ans[id[i][i]]);
94 }