此問題“陣列中出現次數超過一半的數字”是一道非常經典的演算法題，我把它放在演算法風暴系列第一篇來解析，探討學習一個演算法的過程，從慢到快，從最直觀的方法到腦洞大開的方法，由表面深入本質。

問題描述

給定一個數組，且已知陣列中有一個數出現次數超過一半（嚴格），請求出這個數。

問題很簡單，方法也多樣，但什麼方法是最好的呢？為什麼它最好？各種方法之間有什麼優缺點？下面我們一一展開。

方法一：給陣列排序

這大概是最直觀的方法了，最容易想到，也是最多人能夠想出來的。如果我們使用快排的話，只需要O(nlogn)的時間就可以找到這個數。

那麼思考這樣一個問題：給陣列排序了，然後怎麼找這個數呢？有兩種方法

1、從小到大遍歷已排序陣列，同時統計每個數出現的次數（某個數和上一個數不同則計數置為1），如果出現某個計數超過一半，那麼正在計數的數就是所求數。

PS：這種方法可行，相比於快排的時間複雜度是可以忽略的，但是我們還有更好的方法，直擊本質。

2、對一個已排好序的序列，出現次數超過一半的數必定是中位數。因此，我們只要輸出中位數即可。

複雜度分析：

手寫快排程式碼：

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include
 
 <ctime>
#define RAND(start, end) start+(int)(end-start+1)*rand()/(RAND_MAX+1);
using namespace std;

const int maxn = 10005;

int Partition(int *data, int length, int start, int end)
{
	if (start == end) return start;
	srand((unsigned)time(NULL));
	int index = RAND(start, end);
	swap(data[index],
 
 data[end]);
	int one = start - 1;
	for (index = start; index < end; ++index) {
		if (data[index] < data[end]) {
			++one;
			if (one != index) swap(data[one], data[index]);
		}
	}
	++one;
	swap(data[one], data[end]);
	return one;
}

void QuickSort(int *data, int length, int start, int end)
{
	if (length <= 1) return;
	int mid = Partition(data, length, start, end);
	if (mid > start)
		QuickSort(data, length, start, mid - 1);
	if (mid < end)
		QuickSort(data, length, mid + 1, end);
}

int main()
{
	int n, data[maxn];
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> data[i];
	}
	QuickSort(data, n, 0, n - 1);
	cout << data[n >> 1];
}

方法二：桶排序計數

如果我們需要統計的陣列元素都是正整數呢？那麼我們就可以使用桶排序，給他們計數，然後超過陣列大小一半的就是結果了。

然而桶排序看上去很簡單，“複雜度也不高”，卻有很多的限制。

1、首先，陣列統計的數需得是可hash的，不然無法將他們在hash陣列上計數。但是某些情況，如元素有負值，可進行靈活轉化，使其可hash。 2、其次，桶排序方法空間換時間，需要消耗額外的空間，取決於資料的範圍。 3、桶排序並非真的那麼快。桶排序的時間複雜度並非是普通的O(n), 它的n指的是最大資料範圍，如果有這樣一組資料1 100 10000 1000000，那麼桶排序將會有至少1000000次迴圈，且開出1e6的空間，大大浪費資源。

桶排序方法適合資料範圍不大，且資料密度較大的資料。非也，則在此問題上算不上好方法。

程式碼

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int n, max_size = 0, ans = 0;
	cin >> n;
	int *data = new int[n];
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> data[i];
		max_size = max(max_size, data[i]);
	}
	int *hash = new int[max_size + 1];
	for (int i = 0; i <= max_size; ++i)
		hash[i] = 0;
	for (int i = 0; i < n; ++i)
		hash[data[i]]++;
	for (int i = 0; i <= max_size; ++i)
		if (hash[i] > n >> 1) ans = i;
	cout << ans;
	delete [] data;
	delete [] hash;
}

方法三：巧用棧

其實我們可以發現，上面的方法一和方法二，固然是這道題的解法之一，但不是非常具有針對性。也就是說，那兩種方法是功能過剩的，而這所謂功能過剩，也正是導致它效能不是最佳的原因。

那麼，我們就應該思考某種演算法，只針對這個問題，完全的利用好效率。那麼就要從題目出發，找蘊含在問題中的本質規律了。

其實這個問題的核心就是：出現次數超過一半。

我們做這樣的思考：

假設k就是我們要求的那個數，那麼對這個陣列，刪掉其中任意兩個數所剩下的陣列，其對應的k值會改變嗎？答案是會的。但是，如果刪掉任意兩個不相同的數呢？答案是不會！ 為什麼不會？相信聰明的讀者瞬間就明白原因，只需進行簡單的推導就可以了。

具體的實現過程就是：每遍歷一個數，就將其入棧，同時查詢它和棧內前一個元素的大小，如果不同，就同時出棧，否則不變。

以上，就是用棧的方法解決這個問題的核心。

棧實現程式碼：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int *data = new int[n];
	int *stack = new int[n];
	int top = 0;
	cin >> data[0];
	stack[++top] = data[0];
	for (int i = 1; i < n; ++i) {
		cin >> data[i];
		stack[++top] = data[i];
		if (top > 1 && stack[top] != stack[top - 1]) top -= 2;
	}
	cout << stack[top];
	delete [] data;
	delete [] stack;
}

方法四：找中位數（第n/2大數）

從方法一的分析中我們知道，這個陣列的中位數就是答案。方法一是通過給所有的數進行排序找出這個中位數，而我們思考，排序是否有些大材小用？找這個中位數的方法是否可以更簡單些？

答案是有的，而且這類問題被稱為找第k個數。

思想是快排的思想。時間複雜度為O(n)

這個演算法如何實現我將在下次部落格中介紹，敬請期待。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#define RAND(start, end) start + (int)(end - start + 1)*(rand()/(RAND_MAX + 1))
using namespace std;

int Partition(int *data, int length, int start, int end)
{
	if (start == end) return start;
	srand((unsigned)time(NULL));
	int index = RAND(start, end);
	swap(data[index], data[end]);
	int one = start - 1;
	for (index = start; index < end; ++index) {
		if (data[index] < data[end]) {
			++one;
			if (one != index) swap(data[one], data[index]);
		}
	}
	++one;
	swap(data[one], data[end]);
	return one;
}

void FindIt(int *data, int length, int start, int end)
{
	int mid = Partition(data, length, start, end);
	if (mid == length >> 1) return;
	else if (mid > length >> 1) FindIt(data, length, start, mid - 1);
	else FindIt(data, length, mid + 1, end);
}

int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	int *data = new int[n];
	for (int i = 0; i < n; ++i) {
		cin >> data[i];
	}
	FindIt(data, n, 0, n - 1);
	cout << data[n >> 1];
}