第二章 進化計算的基本原理

2.1 經典遺傳演算法

1.二進位制編碼

​ 一個串長為m的二進位制數$b_1b_2...b_m$，其中$b_i=0$或1，i=1,…,m，其表示的最小整數為0，最大整數為$11...1=2^m-1$。共可以表示$2^m$個整數，分別為0,1,…,$2^m-1$。

​ 假設變數x變化範圍為$x \in [a,b]$，解得精度為$10^{-\alpha}$。將[a,b]的兩個等分為若干個小區間，只用二進位制數表示等分點和區間的端點。為達到精度要求，只要將[a,b]等分成(b-a)*$1$

編碼方法：m位二進位制數中最小為0，最大為$2^m-1$，共$2^m$個整數，故當二進位制的位數為m時，用$[0,2^m-1]$

解碼方法：設$B=b_{m-1}b_{m-2}...b_{0}$為任一個m位的二進位制數，則B對應的十進位制數為$x^1=\sum_{i=0}^{m-1}b_i2^i$。用如下變換將$x^1$對應於[a,b]中的等分點x，$x=a+(b-a)\times x^!/(2^m-1)$

2.初始群體

隨機產生N個m位的二進位制數。N稱為群體規模。

3.適應度函式

比偶較常見的取法：

對於$\max f(x)$，取$Fit(x)=f(x)-f_{min}$，其中，$f_{min}$是$f(x)$的下界。

對於$\min f(x)$，取$Fit(x)=f_{max}-f(x)$，其中，$f_{max}$是$f(x)$的上界。

一般要滿足：取正值，x越好，Fit(x)越大。

4.選擇運算元（賭輪選擇方法）

（1）準備

​ 計算群體中每個個體$x_i$被選擇的概率，即$p_i=Fit(x_i)/\sum_{j=1}^NFit(x_j)$

注意$p_i \ge 0,and\quad p_1+p_2+...+p_N=1$

​ 計算$x_i$的累加概率，即$q_i=\sum_{j=1}^ip(j),i=1,2,3,...,N$

（2）選擇

​ 根據概率將圓盤形的賭輪等分成N個扇形，在進行選擇時，可假象隨機轉動一下賭輪，若指標落入第r個扇形內，則選擇個體$x_r$。這樣，重複N次，便可選出N個個體。

​ 上述可用以下數學方法在計算機上實現。將[0,1]區間依次分成長度為$p_1p_1...p_N$的小區間，按均勻分佈在[0,1]中產生一個隨機數，這個數落在第幾個小區間，就選擇第幾個個體參加交叉。（例如，$r<q_1$，則選擇$x_1$，若$q_{i-1} \le r\le q_i,i>1$則選擇$x_i$參加遺傳）這樣，重複N次，便可選出N個個體。

​ 這種選擇的特點是：個體適應度越大，他被選擇的機會越多。

5.遺傳運算元

（3）交叉

​ 我們以單點交叉為例：假設$x_1=000101001...1,x_2=110010110...0$是被選擇交叉的一對，他們的串長為l，隨機選取1,…,l-1位中的一位，如第k位（從左往右），交換第k位右端部分的二進位制串後得到兩個後代。

（4）變異

​ 先取定變異概率$p_m$（一般較小，$p_m \le0.05$），對交叉後代集中每個後代的每一位，產生一個隨機數$r \sub[0,1]$，若$r \le p_m$，則將該位取反，否則該位不變。（或對每一個個體產生一個隨機數若該個體被選中，隨機選擇一位進行變異）

6.選擇下一代群體P(t+1)

​ 在$P(t) \cup {O_1,...,O_N}$中按照某種法則選出N個個體，組成下一代群體P(t+1)。（比如選出最好的個體等等）

2.2 模式定理

​ 模式定理證明群體中適應度高的個體，其生存的機會概率就可能高。

1.概念

（1）萬用字元（或無關符或任意符）。在一個{0,1,$*$}中組成的字串中，$*$叫做萬用字元，它既可以表示0，也可以表示1。因此它是不確定字元。

（2）模式（schema）。一個由{0,1,$*$}中字元構成的字串稱為模式，它表示將字串中的每一個$*$都用0和1替換後所得的所有可能的字串的集合。記作$H$。

（3）模式階（schema order）。模式$H$中確定字元（0和1）的個數稱為模式的H的階，記作$O(H)$。

（4）定義距（defining length）。模式$H$中的第一個（最左邊）確定字元的位置到最後一個確定字元的位置間的距離，即最後一個確定字元（0或1）的位數（從左算起）減去第一個確定字元的位數，記作$\delta(H)$。

2.模式定理

定義：設$P(t)={x^1,x^2,...,x^N}$表示第t代群體，Fit(x)為適應度函式，則稱

​ $f(H,t)=\frac 1 {\vert H\cap p(t) \ \vert }\sum_{x \sub H\cap P(t)}Fit(x)$

為模式$H$的平均適應度。其中，${\vert H\cap p(t) \ \vert }$表示$H\cap p(t) $中元素的個數，即P(t)中含有$H$中元素的個數。

模式定理：設經典遺傳演算法的交叉和變異概率分別為