實現 int sqrt(int x) 函式。

計算並返回 x 的平方根，其中 x 是非負整數。

由於返回型別是整數，結果只保留整數的部分，小數部分將被捨去。

示例 1:

輸入: 4
輸出: 2

示例 2:

輸入: 8
輸出: 2
說明: 8 的平方根是 2.82842..., 
     由於返回型別是整數，小數部分將被捨去。

解題思路

首先可以想到的最簡單的處理思路就是遍歷[1,x]的所有元素i，計算相應的平方值，如果大於x的話，我們返回i-1即可。

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
 

        for i in range(x+1):
            if i**2 > x:
                return i - 1
        return x

但是這顯然太過隨意，時間複雜度太高。這個問題在數學上已經有很明確的解法了，就是大名鼎鼎的牛頓法。

首先，選擇一個接近函式 $f\left(x\right)$

• $0=(x-x_0)*f^{'}(x_0)+f(x_0)$

我們將新求得的點的 $x$座標名為 $x_1$，通常 $x_1$會比 $x_0$更接近方程 $f(x)=0$的解。因此我們現在利用 $x_1$開始下一輪迭代。迭代公式可以簡化為下面表示：

• $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{'}(x_n)}$

對於本題我們要求解的就是 $x^2=n$的解，也就是 $f(x)=x^2-n$，對應的 $f^{'}(x)=2x$。

• $x_{i+1}=x_i-\frac{x_i^2-n}{2x_i}=\frac{x_i^2+n}{2x_i}=\frac{x_i+\frac{n}{x_i}}{2}$

class Solution:
    def mySqrt(self, x):
        """
        :type x: int
        :rtype: int
        """
        res = x
        while res**2 > x:
            res = (res + x//res)//2
            
        return res

reference:

https://zh.wikipedia.org/wiki/牛頓法

我將該問題的其他語言版本新增到了我的GitHub Leetcode

如有問題，希望大家指出！！！