寫這篇文章的本意是對一直困擾著自己的訊號處理問題的一個茅塞頓開的領悟，不過最終還是希望寫一個大家都能看懂，並且可以解決看很多次都沒有看懂的頑疾的博文，歡迎轉載，那麼開始吧。

1.數字濾波器和模擬濾波器

先明確這個觀點，你在看數字濾波還是模擬濾波，你打算處理數字訊號還是模擬訊號。 很多書其實會寫得比較清楚，我在談數字還是模擬，然而我們在大學課程中，我們似乎沒有在腦袋裡形成概念，啥是數字啥是模擬。我是學機械的，學了機械控制理論，然而老師說數字和模擬時學電學的需要學的，你們記住會用就行。好……這一句話，徹底讓我不敢觸碰訊號方面的東西。研究生研究影象處理，不敢弄頻域，不敢看濾波，不敢讀一下小波的文章。 相比大家也有類似經歷，其實我覺得我現在就養成了習慣，越不懂我就越要弄懂，我就不信了，其他人能理解，我又不笨，為什麼我不理解。 ……從這打住了，要不這篇博文就成了記敘文了，言歸正傳

我挺喜歡用圖進行總結的，其實只需要記住，模擬濾波針對的是電流，數字濾波是針對的數字訊號（0101）。數字和模擬的換算是什麼？應該是取樣，對連續訊號進行取樣（AD轉換）就變成了數字訊號，對數字訊號進行處理後，也就是操作一下，在用DA轉換，轉回到連續的模擬訊號（電流）。 上圖寫到了RLC，這裡解釋一下：電阻（R）、電感（L）、電容（C） 加一個高通低通濾波器的圖說明一下 這裡不寫高通濾波器了，高通則是將電容串聯到電路中。

2.數字濾波器原理與時序介紹

下面寫下數字濾波器的框圖，數字濾波器更像是我們隨心所欲，想怎樣對訊號操作就怎樣對訊號進行操作，不過為了不引起時間上的錯誤，我們因此採用了卷積計算，卷積計算在我的卷積博文中有較好的方法寫出，可以過去看一下。

自己畫的圖不是太好看大家湊合看一下。 首先是從最上邊來看，我們的排列是f(n-0)、f(n-1)、f(n-2)……f(n-k+1) 這裡就可以看出我們倘若要求的輸出是f^(n)，[這裡不會打那個帽子所以寫成這樣，見諒]，輸出是什麼？是一串資料，在這裡大家很容易陷入矛盾中，**我們的輸出是什麼？**很多加在一起不應該是一個數值嗎？為什麼是一串資料？ 這裡最容易忽略的就是輸出的n，它也是有變數的。我們要輸出f^(n)時，可以看到，我們的輸入在一個位置是f(n-0)，第二個位置時f(n-1)，最後一個位置是f(n-k+1)，其中k是有多少階FIR，也就是多少個三角形參與了相乘再相加，而為什麼是-k+1，是因為我們第一項是-0。 這裡我們就能看出，我們的輸入是一個不斷往內部走的過程。可以把濾波器比作一個管道，而我們輸入的訊號就是流入管道的水流，每一段水流都是緩緩地在向內流。而這裡需要注意，我們的輸出並不是輸入順著水管，往出口流，而是我們對總體水管的一個觀測，只要在內部的水，不論流到水管的哪段了，它都對輸出起著作用。 輸出是輸入的每一段與該段處於位置的系統結構相乘再相加的綜合結果。n在這裡始終沒有改變它的職能，它表示時間，n越大，說明過的時間越長。n一直都是表示當前的狀態，而在n已知，我們回找前一時刻n-1的狀態，也就是算f^(n-1)時，我們是把輸入也回退了n-1。 那們到中間了，h(n)是什麼呢? h(n)是濾波器的衝擊響應特性，這裡我不想先說衝擊響應是啥東西，先說特性一詞。特性表示了物體的本質效能，h(n)是濾波器的特性，更準確地說是第n個濾波器的特性。而且可以明確地說，h(n)就是一個常數[至少在FIR中可以這麼說]。 這樣就可以看出了，我們的輸出訊號，就是我們在一段時間內，每段輸入訊號乘以一個常數再加起來的結果。是不是很簡單，這個數字濾波器就是這麼定義的[其他更高階的數字濾波器，也可以借鑑FIR分析過程進行分析]。 我們又繞回來了，**衝擊響應是什麼？**為什麼說一個系統的衝擊響應就代表了該系統的特性？[我想說的是，這句話很不準確，其實應該說我們能夠通過沖擊響應進行分析，進而發現系統的特性] 首先先說衝擊，衝擊按普通理解就是快速地撞擊，在數學中這個衝擊是由狄拉克函式表示的，關於狄拉克函式可以翻看我之前的部落格，也有很詳細地介紹。這裡不過多介紹狄拉克，只需要知道狄拉克離散狀況下在“0”點值為1，在其他位置值為0，就可以了。 可以看出這個1走到哪個位置，哪個位置的h就會h1，其他位置就都是h0。我們的輸出就是h*1，因此這個1走到哪，我們的輸出就是哪個h。n=0，就是h(0)，n=1，就是h(1) 我們用狄拉克函式δ(n-k)來表示f(n-k)，也就等同於我們的輸入訊號選擇的是單位衝擊訊號。用公式也可以看出，我們的輸出就是我們的h(n)，這就代表了系統的衝擊響應就是系統的特性。 看到這些的時候我們不應該去說它有多難理解，多難懂，而是應該慨嘆人類的智慧，用一個簡單的公式就能表示時間和系統響應的關係。

3.影象金字塔

我研究上面這些東西，最初是因為我在看影象金字塔時注意到的。 影象金字塔，顧名思義就是把影象排成一座塔形結構，只是一種比喻，然而實際應用中很少會有人關心它的結構問題。 影象金字塔是一個從下到上解析度和尺寸以此降低的結構，底部解析度最高，尺寸最大；頂部解析度最低，尺寸最小。 我們要了解影象金字塔，我們應該從解析度和尺寸分開入手。 解析度：通過濾波器對影象進行窗操作（幾個矩陣和影象進行卷積，然後得到新的影象，尺寸不變。）一般的濾波器採用低通高斯濾波器，它會去除影象中的高頻項，也就是尖銳的邊緣資訊，讓影象變得模糊。這樣做的好處就是我們不會受到一些影象細節的影響，處理後的影象有用資訊只保留了影象的大體輪廓。 尺寸：每做完一次濾波後，再進行一次下采樣（下采樣就是行隔一行取一行，列隔一列取一列，生成新的影象）。其實尺寸下采樣也起到了模糊影象的作用，就是改變影象的尺寸。 解析度和下采樣這兩個過程都改變了影象的尺度，放在一起用就構成了影象金字塔。 上圖包括兩個步驟 生成金字塔：近似濾波器+下采樣器 生成預測殘差：近似濾波器+下采樣器+上取樣器+插值濾波器 預測殘差又叫做拉普拉斯金字塔，實質地操作步驟為將下采樣後的圖進行上取樣，恢復到和下采樣之前的尺寸。原圖直接減去下上取樣後的圖，得到的圖即使預測殘差。

近似濾波：鄰域平均——平均金字塔；低通高斯濾波——高斯金字塔；不濾波——取樣金字塔。

金字塔低解析度分析大的物體和整體結構，高分標率分析影象的細節成分。