青蛙的約會(擴充套件歐幾里德定理)
阿新 • • 發佈:2018-12-13
擴充套件歐幾里得定理
對於不完全為 0 的非負整數 a,b,gcd(a,b)表示 a,b 的最大公約數,必然
存在整數對 x,y ,使得 gcd(a,b)=ax+by。
求解 x,y的方法的理解
設 a>b。
1,顯然當 b=0,gcd(a,b)=a。此時 x=1,y=0;
2,a>b>0 時
設 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根據樸素的歐幾里得原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
則:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
說明: a-[a/b]*b即為mod運算。[a/b]代表取小於a/b的最大整數。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根據恆等定理得:x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
這樣我們就得到了求解 x1,y1 的方法:x1,y1 的值基於 x2,y2.
解題思路:經過k圈後相遇,設時間為t,則:
x+mt = y + nt + kl;
x - y = (n - m)t + kl;
那麼就有 a = n-m, b = l, c = x-y;
故而當 gc = gcd(a, b) 是c的約數,那麼這個方程有解,否則無解
一組解為x0 = x*c/gc; y0 = y*c/gc;
通解為x = x0 + b/gc*t; y = y0-a*gc*t;
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; typedef long long ll; int exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) { if(b == 0) { x = 1,y = 0; return a; } int r = exgcd(b,a%b,x,y); int t = x; x = y; y = t-a/b*y; return r; } int main() { ll X,Y,m,n,l,x,y; while(~scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&X,&Y,&m,&n,&l)) { ll a = n-m,b = l,c = X-Y; ll gc = exgcd(a,b,x,y); if(c%gc) //判斷是否有解 printf("Impossible\n"); else { c /= gc; ll t = (c*x%b+b)%b; //求一組解 printf("%lld\n",t); } } return 0; }