數論基礎

歐幾里得演算法

$gcd(a,b) = max[k] \ \ \ if(k|a,k|b)$

a和b的最大公因子是同時整除a和b的最大整數，其中g(0,0) = 0

互素

如果兩個數a.b互素，當且僅當它們只有一個正整數公因子為1，也就是說若g(a, b) = 1，那麼ab互素（互質）.

模運算公式：

有：

$[(a \ mod \ n) \ +-*/ \ (b \ mod \ n)] = (a\ +-*/ \ b)\ mod \ n$

例子

$11^7 \ mod\ 13$

$11^2 = 121 \equiv 4(mod\ 13)$

$11^4 = (11^2)^2 = 4^2 \equiv 3(mod 13)$

$11^7 = 11*11^2*11^4 \equiv 11*4*3 \equiv 123 \equiv 2(mod\ 13)$

素數

$300 = 2^2*3^1*5^2$

$18 = 2^1*3^2$

$gcd(18,300) = 6 = 2^1*3^1*5^0$

$\therefore if\ k = gcd(a,b)$

$then\ k_p = min(a_p,b_p) \ , \ \forall \ p \in P$

裴蜀定理

假設我們有一個關於 x 和 y 的線性方程 $ax+by=d$ 現在要求判斷這個方程是否存在整數解。

裴蜀定理告訴了我們，ax+by=d 存在整數解當且僅當 gcd(a,b)∣d。例如說 3x+6y=2 就不存在整數解，3x+6y=3 就存在整數解 x=1,y=0。

顯然 gcd(a,b)∣(ax+by)，如果存在整數解的話必然有 gcd(a,b)∣d，也就是說，如果 gcd(a,b)∤d 這個線性方程就肯定不存在整數解。

費馬定理和尤拉定理

費馬定理

若p是素數，a是正整數且不能被p整除，則

$a^{p-1} \equiv 1(mod \ p)$

第一種形式需要ap互質，第二種不需要 $a^p \equiv a \ mod \ p$

尤拉函式

$\phi(x)$ 即為尤拉函式的符號，表示小於x且與x互質的數有多少個。 顯然對於素數有 $\phi(n) = n-1$ 假設有兩個素數p，q。 $\forall n=pq$ $\phi(n) = \phi(pq) = \phi(p)*\phi(q) = (p-1)(q-1)$

尤拉定理

尤拉定理說明，對於任意互素的a和n，有 $a^{\phi(n)} \equiv 1(mod \ n)$ 而第二種表現形式不需要a、n互素 $a^{\phi(n)+1} \equiv a(mod \ n)$

中國剩餘定理

如果m1,m2,···,m3互質,由中國剩餘定理可得

$\begin{cases} x \equiv a_1(mod \ m_1)\\ x \equiv a_2(mod \ m_2)\\ x \equiv a_3(mod \ m_3)\\ \ \ \ \ \ \ \ ·\\ \ \ \ \ \ \ \ ·\\ \ \ \ \ \ \ \ ·\\ x \equiv a_k(mod \ m_k) \end{cases}$ $\downarrow$ $x \equiv x_0(mod \ lcm(m_1,m_2,···,m_n))$ 證明如下

先考慮只有兩個方程,並且模數互質的時候 $\begin{cases} x \equiv a_1(mod \ p_1) \\ x \equiv a_2(mod \ p_2) \\ \end{cases}$$\downarrow$$\begin{cases} x=a_1+k_1p_1 \\ x=a_2+k_2p_2 \\ \end{cases}$$\downarrow$$a_1 + k_1*p_1 =a_2+k_2*p_2$$\therefore x=a_1+k_1p_1$$=a_1+p_1p_2t+k_1'$$=x_0+p_1p_2t$$\downarrow$$x \equiv x_0(mod \ p_1p_2)$ 一直迭代後，則有： $x\equiv x_0(mod{p}_1{p}_2{p}_3{p}_4\cdot \cdot \cdot \cdot p_n)$