CF895C: Square Subsets && 【BZOJ2844】albus就是要第一個出場

這兩道題很類似，都是線性基的計數問題，解題的核心思想也一樣。

CF895C Square Subsets

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題意

給定\(n\)個數，求多少種選數方案使得選出來的數乘積為完全平方數。\(n\leq 100000,a_i\leq70\)。

完全平方數的本質就是每個質因子的次數為偶數。

所以我們將每一個數唯一分解，然後記錄每個質因子的奇偶狀態，就得到了一個個01串。問題就變成了有多少個集合中的數異或為0。

我們建好線性基，設線性基的秩為\(m\)，則答案就是\(2^{n-m}-1\)

因為線性基中的\(m\)個元素是線性無關的，並且可以表達出其他數的所有線性組合，所以其他\(2^{n-m}-1\)(減掉都不選的一種情況)的所有數都能線上性基中找到唯一的一個組合與之異或起來為0。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 

using namespace std;

int n;
ll p[50],cnt;
bool Insert(ll x) {
    for(int i=20;i>=0;i--) {
        if(!(x>>i)&1) continue ;
        if(!p[i]) return p[i]=x,1;
        x^=p[i];
    }
    return 0;
}
ll pri[100];
bool vis[100];
void pre() {
    for(int i=2;i<=70;i++) {
        if(!vis[i]) pri[++pri[0]]=i;
        for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=70;j++) {
            vis[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) break;
        }
    }
}
void break_down(ll v) {
    ll x=0;
    for(int i=1;i<=pri[0];i++) {
        while(v%pri[i]==0) {
            x^=1<<i;
            v/=pri[i];
        }
    }
    if(!Insert(x)) cnt++;
}
int main() {
    pre();
    scanf("%d",&n);
    ll a;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lld",&a);
        break_down(a);
    }
    ll t=2,ans=1;
    for(;cnt;cnt>>=1,t=t*t%1000000007) {
        if(cnt&1)ans=ans*t%1000000007;
    }
    cout<<(ans-1+1000000007)%1000000007;
    return 0;
}
 

【BZOJ2844】albus就是要第一個出場

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我們就是要求比\(Q\)小的集合有多少個。

和上一道題一樣，我們就是要求比\(Q\)小，且能被線性基表示出來的數有多少個，我們設為\(lower\)，則答案為\(lower\cdot 2^{n-m}+1\)。

問題其實就是求\(\leq Q-1\)的的最大的數的\(Rank\)。

我的實現方式不太一樣。我們就找\(\leq Q-1\)的數的數量。\(\leq Q-1\)一定是從高到低的前\(i-1\)位相同，第\(i\)位小一些，後面的幾位隨便。於是我們就考慮\(Q\)的前\(i\)位，我們設為\(Q'\)，然後將所有數的前\(i\)

這樣做複雜度要比網上的一般寫法多一個\(log\)，不過個人感覺好理解些。

程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
#define mod 10086

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n;
int p[35],a[N];
int Q; 
bool Insert(int a) {
    for(int i=30;i>=0;i--) {
        if(a&(1<<i)) {
            if(!p[i]) return p[i]=a,1;
            else a^=p[i];
        }
    }
    return 0;
}
int cnt;
void build(int k) {
    cnt=0;
    memset(p,0,sizeof(p));
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cnt+=Insert(a[i]>>k);
    }
}
ll ans;
ll pw[N];

int main() {
    n=Get();
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=(pw[i-1]<<1)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=Get();
    Q=Get();
    for(int i=30;i>=0;i--) {
        if(Q&(1<<i)) {
            build(i);
            if(!Insert((Q>>i)^1)) {
                (ans+=pw[n-cnt])%=mod;
            }
        }
    }
    cout<<(ans+1)%mod;
    return 0;
}