Description

小 P 是個幼兒園老師。有一天，他組織 nnn 個小朋友玩遊戲。遊戲開始時，每個小朋友伸出兩隻手，沒有手相互拉在一起。 每次，小 P 等概率隨機挑選兩隻空著的手，讓這兩隻手拉在一起。小 P 一直重複這個操作，直到所有的手都拉在一起。 小 P 在成為幼兒園老師之前是個數學專業的博士。因此，他想知道，當所有的手都拉在一起之後， 小朋友們拉成的圈個數的期望是多少？其中，我們規定，一個小朋友左手拉右手的情況也形成一個圈。

由於小 P 忙著和小朋友們玩遊戲，他找到了聰明的你，希望你能幫他解決這個問題。

對於 100% 的資料：1≤n≤10181 \le n \le 10^{18}1≤n≤1018。

Solution

非常巧妙的一道題

考慮期望的線性性，我們發現只有第i個小朋友自己牽自己的手才會產生新的環，這樣的概率是$\frac{1}{2i-1}$ 於是答案為$\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{2i-1}$，這樣for有70’ 考慮求$\sum\limits_{i=1}^n\frac{1}{n}$這個東西，一個近似的解是$\ln(n)+c$，其中c是尤拉常數 然後我們求其中的奇數項就用總的減去偶數項，而偶數項就是總的一半/2 然後就可以O(1)了

Code

口胡題解不寫code