二叉堆的定義
二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。

二叉堆滿足二個特性：

1．父結點的鍵值總是大於或等於（小於或等於）任何一個子節點的鍵值。

2．每個結點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

當父結點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為最大堆。當父結點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為最小堆。下圖展示一個最小堆：

由於其它幾種堆（二項式堆，斐波納契堆等）用的較少，一般將二叉堆就簡稱為堆。
堆的儲存
一般都用陣列來表示堆，i結點的父結點下標就為(i – 1) / 2。它的左右子結點下標分別為2 * i + 1和2 * i + 2。如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

//  新加入i結點  其父結點為(i - 1) / 2
void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
    int j, temp;
	
	temp = a[i];
	j = (i - 1) / 2;      //父結點
	while (j >= 0 && i != 0)
	{
		if (a[j] <= temp)
			break;
		
		a[i] = a[j];     //把較大的子結點往下移動,替換它的子結點
		i = j;
		j = (i - 1) / 2;
	}
	a[i] = temp;
}
 

更簡短的表達為：

void MinHeapFixup(int a[], int i)
{
	for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)
		Swap(a[i], a[j]);
}

插入時：

//在最小堆中加入新的資料nNum
void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
{
	a[n] = nNum;
	MinHeapFixup(a, n);
}

堆的刪除（自上而下調整堆，自下而上更簡單一些）

//  從i節點開始調整,n為節點總數 從0開始計算 i節點的子節點為 2*i+1, 2*i+2
// 自上而下調整推，以下方法沒有驗證，不一定正確。
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
{
    int j, temp;
 
	temp = a[i];
	j = 2 * i + 1;
	while (j < n)   //下沉過程
	{
		if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
			j++;
 
		if (a[j] >= temp)
			break;
 
		a[i] = a[j];     //把較小的子結點往上移動,替換它的父結點
		i = j;
		j = 2 * i + 1;
	}
	a[i] = temp;
}
//在最小堆中刪除數
void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
{
	Swap(a[0], a[n - 1]);
	MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

堆化陣列


堆排序
首先可以看到堆建好之後堆中第0個數據是堆中最小的資料。取出這個資料再執行下堆的堆化(調整)操作。這樣堆中第0個數據又是堆中最小的資料，重複上述步驟直至堆中只有一個數據時就直接取出這個資料。