1 概論

非線性控制的主題：非線性系統的分析與設計。非線性系統的性態比線性系統豐富得多，複雜得多。困難：首先，非線性方程一般得不到它的分析解。因此完全瞭解一個非線性系統是非常困難的；其次，一些重要的數學工具，如傅立葉變換和拉普拉斯變換，對非線性系統不適用。

1.1 為什麼研究非線性

• 現有控制系統的改進 線性控制方法的關鍵假設是系統運動是小範圍的。機器人可以通過計算力矩控制器完全補償機器人運動的非線性力，從而在一個很大的工作空間和較大的速度下，實現機器人的高精度控制。
• 硬非線性特性分析 線性控制的裡一個假設是系統模型可以線性化。但是，控制系統中有許多非線性因素，他們的不連續性使其不具有線性近似。應非線性包括：幹摩擦、飽和、死區、間隙及時滯。
• 對模型不確定性的處理 在設計線性控制器時，通常需要先假設系統模型的引數已知。但許多控制問題中，模型引數有不確定性。這可能由於引數的慢時變（飛機飛行時周圍的氣壓變化）或引數的突然變化（機器人抓取物體時，慣量的變化）。非線性因素可以被有意的匯入控制系統的控制部分，從而使不確定性可以容忍。有兩類非線性控制器可以用於此目的：魯棒控制器與自適應2控制器。
• 設計的簡化 好的非線性控制設計比相應的線性控制器更加簡單直觀。

1.2 非線性系統的形態

物理系統本質上就是非線性的。一切控制系統都是一定程度上的非線性系統。非線性控制系統可以用非線性常微分方程來描述。如果控制系統的執行區域小，而且與之相關的非線性特性是光滑的，那麼用線性系統，即一組線性常微分方程就可以合理的近似了。

1 非線性特性

非線性特性可以分為本質的（自然的）和可以的（人造的）兩種。本質的非線性特性是由系統的裝置及運動產生的。例如：旋轉時的向心力、接觸介面間的幹摩擦阻尼。非線性控制規律，如自適應控制規律以及開關式最優控制率就是刻意非線性的例子。2 非線性也可以根據其數學性質分為連續的和不連續的。**由於不連續的非線性特性不能用線性函式來逼近，他們也被稱為“硬”非線性特性。**一個系統的小動態被看做線性的或非線性的依據是視其非線性特性的複製以及其對系統實現的影響。

2 線性系統

線性系統研究最關心的是時不變線性控制系統（LTI）：

3 一些常見的非線性系統的性態

• 多平衡點 非線性系統偷嘗有一個以上的平衡點（系統可以停在一處，永遠不懂的一個點）。對於線性系統，對任何初值，運動總收斂於平衡點x=0，因此是穩定的。對非線性系統，可能在有限時間即趨於無窮大，這種現象稱為有限時間逃逸
  。
• 極限環 在沒有外界激勵的情況下，非線性系統可以表現為固定幅值及固定週期的簡寫振動。這種簡諧振動被稱為極限環或自激震盪。 極限環與現行諧振有區別。首先，自持的激勵幅值與初值無關。而線性系統臨界穩定狀態的協整振幅依賴於初值；其次，臨界穩定狀態的線性系統諧振對系統引數改變十分敏感（微小的變化就可能導致收斂或不穩定），而極限環則不易受引數變化的影響。 極限環是非線性系統的一個重要現象。極限環有時是自發的，二有時是人工的。
• 分歧 當非線性動力系統的引數變化時，其平衡點的穩定性也會發生變化（線性系統也是如此），且其平衡點個數也會改變。能是系統運動本質發生變化的哪些引數稱為臨界值或分歧值。分歧現象即引數兩邊引起的系統的性質質變，是分歧理論研究的物件。
• 混沌 對於穩定的線性系統，初始值的小擾動只引起輸出的微小變化，而對非線性系統可能表現出一種稱為混沌的現象，即系統的輸出對初始條件極其敏感。混沌的基本特性是系統輸出的不可預測性。 混沌與隨機遊動不同，在隨機遊動系統中的模型或輸入具有不確定性，其結果是系統的輸出的時間變化不能準確預測（只能統計度量）。混沌系統則不同，它所涉及的問題是確定的，且模型、輸入及初始狀態均無不確定性。 空氣動力學也表現出明顯的混沌狀態，造成無法實現長期的天氣預報。混沌多半在強非線性系統中產生。混沌不會在線性系統中產生。
• 其他特性 跳躍式共鳴、次諧波的產生、非同步抑制、自由振盪的頻率-復幅值依存。