An Ideal-Security Protocol for Order-Preserving Encoding 來自 2013 IEEE Symposium on Security and Privacy

Order-Preserving Encoding（OPE）：OPE是一種加密方案，它的密文的排序順序與相應的明文順序相匹配。在本文中，作者主要寫了兩種方案：一種是在半可信模型下（即伺服器是honest-but-curious）;一種是在惡意模型（即伺服器是malicious） 1. 半可信伺服器 （1）mutable order-preserving encoding(mOPE) OPE Tree的結構：

OPE Tree: 左孩子小於父節點，右孩子大於父節點 例如：將69，32，20，10，25的密文儲存到伺服器上 ① 將69的密文放入OPE Tree的根節點，[]100-------4 ② 向伺服器請求根結點69的密文，解密後比較，32<69，放在69左結點，更新encoding：[0]10--------2 ③ 向伺服器請求根結點69的密文，解密後比較，20<69，再向伺服器請求左結點32的密文，解密後比較20<32, 將20的密文放到32的左結點上，更新encoding：[00]1-----1 rebalance：這時發現已經有3個結點沒有右結點，對OPE Tree進行rebalance，即將中間結點32放在根節點，20放在左結點，69放在右結點，更新OPE Table ④ 向伺服器請求根結點32的密文，解密後比較：10<32，再請求32的左結點20，解密後發現 10<20，再請求20的左結點，發現20沒有孩子，將10插入20的左結點，並更新encoding ⑤向伺服器請求根結點32的密文，解密後比較：25<32，再請求32的左結點20，解密後發現 25>20，再請求20的右結點，發現20沒有右孩子，將25插入20的右結點，並更新encoding mOPE 加密方案：

a. 金鑰生成：客戶端執行
b. 初始化伺服器：即初始化OPE Tree和 OPE Table（僅包含±∞），返回一個初始狀態的st（代表伺服器的狀態）
c. 加密（插入）：
客戶端：將明文v進行加密（加密演算法可以是任意的演算法， eg：AES），密文為c，並將c 傳送到伺服器端
伺服器端：
①查詢是否c在OPE Tree中，如果在則返回沒有改變的st，否則在OPE Tree中插入在c，並計算c的OPE encoding，更新OPE Table
② 如果OPE Tree需要去平衡，平衡OPE Tree，並更新所有的受影響的節點的OPE encoding。
③ 伺服器返回一個新的狀態st，
d. 解密：在客戶端執行，將c解密為v
e. 查詢排序：如果c在OPE Table 中，將OPE Table相應的編碼返回，否則返回error
 

（2）storage-aware OPE (stOPE)

same-time OPE security：執行order詢問時，伺服器只需要知道目標值的順序關係，當前值和舊的值之間的關係不應該洩露。例如：20,32,69 ，如果先刪除32，再插入55，那麼32和55之間的大小關係不應該洩露。 storage-aware OPE (stOPE)：考慮了一個儲存系統的模型（不僅是資料庫型別的儲存）

a. 初始化：（Initialization）: 客戶端生成一個金鑰，而伺服器也初始化它的狀態。
b. 插入（Insert）:（RND代表對稱加密）
     客戶端: 計算c ← RND.Enc(sk, v)，並將c傳送到伺服器
     伺服器：遍歷OPE Tree，如果存在c，說明已經c之前被加過了，計算相應的OPE編碼e。如果對於v的密    文c_t 存在，伺服器增加它的ref-count（表示這個值被插入的次數），如果v已經不在這個OPE Tree中，將c插入到OPE Tree並且ref-count=1。
c. 刪除（Remove）：
    客戶端: 計算c ← RND.Enc(sk, v) ，並將c傳送到伺服器.
    伺服器：遍歷OPE Tree，
	如果c不存在，返回error；
	如果c存在且ref-count >1, 則ref-count = ref-count -1；
	如果c存在且ref-count =1，將c從OPE Tree和OPE Table中移除；
	如果節點刪除觸發樹平衡，伺服器也會類似地更新OPE Table和任何包含那些OPE Encoding的儲存器。  
d. 查詢（Query）: 查詢到最貼近v的v_1,v_2，使得v_1≤v< v_2
客戶端: 計算c ← RND.Enc(sk, v) ，並將c傳送到伺服器.
伺服器：遍歷OPE Tree，按照性質3來定位最鄰近的間隔。
查詢排序：如果c在OPE Table 中，將OPE Table相應的編碼返回，否則返回error

性質3：對於包含±∞的B-tree中的任何節點v來說，v_left≤v 的最大值v_left是: 1) v的左子樹中最右邊的孩子或者 2) 從v到根節點路徑上的第一個值，右邊界是v右子樹中最左邊的孩子（這是我推測的，原文沒有看太懂）