WFST在語音識別中的應用，要從Mohri的《Weighted Finite-State Transducers in Speech Recognition》這篇論文開始說起。首先看下面簡單的WFST圖，它是一個有向圖，狀態轉移弧上有輸入符號、輸出符號以及對應的權重值。下圖中的輸入符號和輸出符號相同，當然在多數情況下它們是不相同的，在語音識別中，輸入可能是發聲的聲韻母，輸出是一個個漢字或詞語。

WFST的基本操作

WFST是基於半環代數理論的，詳細的半環理論可以看上面Mohri的論文或者找其它資料學習。簡單的一個半環代數結構定義為

，它包含元素集合K，兩個基本操作和兩個基本單元。半環必須滿足以下定理：

在語音識別中經常使用的有Log半環和熱帶半環：

⊕log is defined by: x ⊕log y = −log(e−x + e−y).

合併操作

合併操作用於將兩個WFST合併成，合併可以用於存在多個WFST時，將它們合併到一個WFST，用於語音識別中。如下，將A和B

組合操作

組合操作用於合併不同層次的WFST，用於將前一個WFST的輸出符號同後一個WFST的輸入符號做合併，生成由前一個WFST的輸入符號到後一個WFST輸出符號的狀態機。假設WFST A中有一條轉移弧，輸入x，輸出y，權重是a；WFST B中有一條轉移弧，輸入是y，輸出是z，權重是b，那麼A和B的組合後，就會生成一條輸入是x，輸出是z，權重為ab。下圖為對a和b做組合操作

確定化操作

確定化操作用於去除WFST的冗餘，對於WFST的每一個狀態，它的每一個狀態對於同一個輸入符號，只有一個轉移弧。確定化的加權有限狀態器的優勢在於它的非冗餘性，對於確定化的加權有限狀態器，一個給定的輸入符號序列最多隻有一條路徑與其對應，這樣可以降低搜尋演算法的時間和空間複雜度。下圖為對a做確定化操作，得到b

權重推移

權重前推操作將轉移弧的權重都向加權有限狀態器的初始狀態推移，這樣在採用搜尋演算法去找到最大或者最小路徑時，可以在早期就丟棄一些不可能的路徑。下圖為對a做權重前推操作，得到b

WFST在語音識別中的應用

在語音識別中，隱馬爾可夫模型（HMM）、發音詞典（lexicon）、n-gram語言模型都可以通過WFST來表示。對於語音識別，其目標函式是：

其中p(O|W)為聲學模型，p(W)為語言模型。將上述公式貝葉斯展開：

其中V是音素序列，P(V|W)表示單詞W的發音概率。另外，P(O|V,W)的概率只與V有關，P(O|V,W) = P(O|V)

在語音識別中，通常會對概率取log運算，所以上式等同於下面：

基於上述公式，可以將語音識別分成三個部分，如下：

採用知識源的方式替換上述的公式，得到：

一個完整的語言識別加權有限狀態轉換器可以表達為：

。在引入音素窗後，上式在H後增加音素窗的變化

。

通常N的組成由後往前進行，先進行LG的組合，再進行CLG的組合，最後進行HCLG的組合，即N = Min(H C Min(Det(L * G)))。

語言模型G

在語音識別中，語言模型用n-gram模型表示，常用的有bigram、trigram。n-gram模型與一個(n-1)階馬爾可夫鏈相似，所以可以用WFSA來表示。如下是一個簡單的語言模型”start it”和“stop it”轉成WFSA的示例：

發音詞典模型L

發音詞典模型表示一個單詞有哪些音素序列串構成。當用WFST來表示L模型時，輸入是音素串，到達終止狀態時，輸出一個相對應的單詞。

上下文相關音子模型C

上下文相關音子模型用於將三音子序列轉換為音素序列，這通常很容易構造，只需要輸入三音子串，輸出其central音素即可。

聲學模型H

聲學模型用HMM來進行建模，對於輸入的MFCC特徵，通過GMM或者DNN計算出當前幀對應的HMM發射態的概率。

將上述的HCLG通過組合以及相關的操作後，得到一個完整的解碼圖，配合GMM或者DNN模型去計算每一幀對應HMM狀態的概率，採用Viterb或者beam-search演算法，可以得到完整語音對應權重最小的文字，即為最後的解碼結果。