錢幣組合問題（動態規劃）
錢幣組合問題：（每種硬幣不限次數）
假設我們有8種不同面值的硬幣｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用這些硬幣組合夠成一個給定的數值n。例如n=200，那麼一種可能的組合方式為200 = 3 * 1 + 1＊2 + 1＊5 + 2＊20 + 1 * 50 + 1 * 100. 問總過有多少種可能的組合方式？
解題思路：
給定一個數值sum，假設我們有m種不同型別的硬幣{V1, V2, ..., Vm}，如果要組合成sum，那麼我們有
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm
求所有可能的組合數，就是求滿足前面等值的係數{x1, x2, ..., xm}的所有可能個數。
[思路1] 當然我們可以採用暴力列舉，各個係數可能的取值無非是x1 = {0, 1, ..., sum / V1}, x2 = {0, 1, ..., sum/ V2}等等。這對於硬幣種類數較小的題目還是可以應付的，比如華為和創新工廠的題目，但是複雜度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * ...）
[思路2] 從上面的分析中我們也可以這麼考慮，我們希望用m種硬幣構成sum，根據最後一個硬幣Vm的係數的取值為無非有這麼幾種情況，xm分別取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，換句話說，上面分析中的等式和下面的幾個等式的聯合是等價的。
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm
...
sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm
其中K是該xm能取的最大數值K = sum / Vm。可是這又有什麼用呢？不要急，我們先進行如下變數的定義：
dp[i][sum] = 用前i種硬幣構成sum 的所有組合數。
那麼題目的問題實際上就是求dp[m][sum]，即用前m種硬幣（所有硬幣）構成sum的所有組合數。在上面的聯合等式中：當xn=0時，有多少種組合呢？ 實際上就是前i-1種硬幣組合sum，有dp[i-1][sum]種！ xn = 1 時呢，有多少種組合？ 實際上是用前i-1種硬幣組合成(sum - Vm)的組合數，有dp[i-1][sum -Vm]種; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]種，等等。所有的這些情況加起來就是我們的dp[i][sum]。所以：
dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]
+ dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm
換一種更抽象的數學描述就是：
遞迴公式
通過此公式，我們可以看到問題被一步步縮小，那麼初始情況是什麼呢？如果sum=0，那麼無論有前多少種來組合0，只有一種可能，就是各個係數都等於0；
dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, ... , m
如果我們用二位陣列表示dp[i][sum], 我們發現第i行的值全部依賴與i-1行的值，所以我們可以逐行求解該陣列。如果前0種硬幣要組成sum，我們規定為dp[0][sum] = 0.
思路一：暴力窮舉
每種硬幣最多為N/coins，當n較小時，可以窮舉出,注意本程式需要n>200,否則需要更改if判斷的位置。（時間超時）
public static int cb = 0;
public static void brute(int[] coins,int n){
//有多少種幣就有多少個for,此題共有7種
for(int i =0;i<=n/coins[0];i++){
for(int j =0;j<=n/coins[1];j++){
for(int k =0;k<=n/coins[2];k++){
for(int l =0;l<=n/coins[3];l++){
for(int m =0;m<=n/coins[4];m++){
for(int o =0;o<=n/coins[5];o++){
for(int p =0;p<=n/coins[6];p++){
if((coins[0]*i+coins[1]*j+coins[2]*k+coins[3]*l+coins[4]*m+coins[5]*o+coins[6]*p)==n){
cb++;
//System.out.println("1 2 5 10 20 50 100 各使用"+i+j+k+l+m+o+p+"種");
};
}
}
}
}
}
}
}
}思路二：分支限界，深度遍歷
去掉大於N的情況，注意每種硬幣允許使用多次，且122與212、221屬於同一種情況，所以限定每次使用的幣種（coins[i]）應大於等於上次使用的幣種（coins[coinlocation]） （時間超時）
static int cc = 0; //統計總共的數目
static int[] sum = {0,0,0,0,0,0,0};//用於列印使用狀況
/**
* @param coins 錢幣列表
* @param n 總金額
* @param count 當前金額
* @param coinlocation 當前使用幣種的下標
*/
public static void dfs(int[] coins,int n,int count,int coinlocation){
if(count==n){
cc++;
for(int i =0;i<sum.length;i++){
System.out.print("使用 "+coins[i]+"元："+sum[i]+"個,");
}
System.out.println();
}else if(count > n){
return;
}else {
//遍歷每一種硬幣,允許1 2 2，不允許2，1,2
for(int i=coinlocation;i<coins.length;i++){
sum[i]++;
dfs(coins,n,count+coins[i],i);
sum[i]--;
}
}
}思路三：動態規劃
設d[i][sum]為使用第i中錢幣時達到總金額sum的方案數目所以對於錢幣i（coins[i]）,可以不使用i、使用一個i、使用兩個i......使用sum/coins[i]個i，即個，其中用d[i][0] = 1(只有一種方案，即什麼幣種也不用)d[0][i] =0(不用任何幣種組成任意錢數，沒有這種操作)。
public static void dynamic_prommgram(int[] coins,int n){
int[][] d = new int[coins.length+1][n+1];//length+1表示不適用任何幣種、只使用1、只使用1 2 只使用1 2 3......等等，共length+1種情況，且n+1表示總計0、1.....至n元共n+1種情況
for(int i = 0;i<=coins.length;i++) d[i][0] = 1;
for(int i = 1 ;i<=coins.length;i++){//因為d[0][i]是0，所以i從1開始
for(int sum = 1;sum<=n;sum++){//由於d[i][0]==1，所以j從1開始
for(int k=0;k<=sum/coins[i-1];k++){//例如，使用面值為1時，對應的coins[]下標是i-1，邏輯上河實際上不是一致的
d[i][sum] +=d[i-1][sum-k*coins[i-1]];
}
}
}
System.out.println(d[coins.length][n]);
}當然，程式可以簡化為一維陣列，二維陣列的方式易於理解，但一維陣列的方式更為簡潔，因為d[i][sum]=ξ’d[i-1][X’]=ξ’ξ’d[i-2][X’’]=...即d[i-1]就是累加求和的中間量，所以可以直接使用一維陣列表示：
public static void main(String[] args){
long[] d= new long[201];
d[0]=1;
int[] v={1,2,5,10,20,50,100
};
for(int i=0;i<7;i++){
for(int j=v[i];j<201;j++){
d[j]+=d[j-v[i]]; //相當於
}
}
System.out.println(200+"的組合方式有"+d[200]+"種");
}