題意

有一個字首和是平方數的序列，也就是一個嚴格遞增平方數的差分序列，奇數項丟了，給出偶數項，要求輸出所有項。

思路

首先列出一個式子，對於題設差分序列中的一項c，必定要滿足有$a^2-b^2=c$，即$(a-b)\times(a+b)=c$，那麼現在已知c，如何定出a和b呢，很容易想到把c因式分解，使$(a-b)$,$(a+b)$為c的一對因子即可。設其中一個因子為x，不妨設x為一對之中大的那個因子，那麼令$a+b=x$,$a-b=c/x$聯立兩式可解得，$2a=x+c/x$,$2b=x-c/x$。那麼a，b存在的充分必要條件就是這對因子和（差）為偶數即可，換言之，一對和（差）為偶數的因子即可構造出c，且其他所有的數都不能構造出c（不會證明，可能是錯的）。

推進到這裡，我們就可以開始構造題目要求的序列了。針對每個數，我們都選擇構造儘量小的平方數，這樣保證在之後的構造中能夠有更多的選擇。在構造當前數的選擇上，已經有的字首和為now，那麼當前數就為$b^2-now^2$。

進行上述步驟，哪步進行不下去就No。

程式碼

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=1e5+7;
 4 int arr[maxn];
 5 vector<int> fac[maxn];
 6 long long ans[maxn];
 
 7 int main()
 8 {
 9     int n;
10     scanf("%d",&n);
11     n/=2;
12     for(int i=0;i<n;i++)
13     {
14         scanf("%d",&arr[i]);
15         for(int j=1;j<sqrt(arr[i]);j++)
16         {
17             if(arr[i]%j==0)
18                 fac[i].push_back(arr[i]/j);
19         }
 
20         sort(fac[i].begin(),fac[i].end());
21     }
22     int now=0;
23     bool flag=1;
24     for(int i=0;i<n;i++)
25     {
26         for(int j=0;j<fac[i].size();j++)
27         {
28             int a=fac[i][j],b=arr[i]/a;
29             if((a+b)%2) continue;
30             int aa=(a+b)/2,bb=(a-b)/2;
31             if(bb<=now) continue;
32             else{
33                 ans[i]=1LL*bb*bb-1LL*now*now;
34                 now=aa;
35                 break;
36             }
37         }
38         if(ans[i]==0) flag=0;
39         if(!flag) break;
40     }
41     if(!flag) puts("No");
42     else {
43         puts("Yes");
44         for(int i=0;i<n;i++)
45         {
46             printf("%lld %d ",ans[i],arr[i]);
47         }
48     }
49 
50 }

後記

推公式真好玩。