T1 鹹魚計數 || CF185A Plant

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A 鹹魚計數 (count.cpp) 【題目描述】 傳說很久很久以前，世界上只有一條鹹魚。 世界上所有的鹹魚都是它的後代。 當這條鹹魚出現的時候，它是這樣的 而這一年被鹹魚們記錄下來，稱為鹹魚紀元的開始。 一年之後，它分裂了。然後變成了這個樣子。 又過了一年，每條分裂的小鹹魚也再次分裂，變成了下面這個樣子。現在請你算一算，過了 n 年之後，有多少條頭朝上的鹹魚。 【輸入描述】 一行一個整數 n。 【輸出描述】 一個整數，表示頭朝上的鹹魚數量。這個數可能很大，我們只需要它對 1000000007 取模的結果。 【樣例輸入 1】 1 【樣例輸出 1】 3 【樣例輸入 2】 2 【樣例輸出 2】 10 【資料範圍及提示】 50%的資料，n <= 1e6 100%的資料，n <= 1e18

拿到題，10¹⁸。看出複雜度是O(1)或者O (log2(n))。 開始找規律， 在第0年時，有1條魚， 在第1年時，有3條魚， 在第2年時，有10條魚， 在第3年時，有36條魚。 好像找不出規律，在畫個圖試試。

畫的不好請見諒… 發現了什麼…每行的黃色(也就是向上的)，都是它上一行+1。 那麼第n年一共有幾行？我們發現第n年的行數，是n-1年行數的兩倍。那麼到第n年，就有 2ⁿ 行。 那就可以做了，就是算出sum(1+2+3+4+…+ 2ⁿ )。 誒，好像不大對。這個複雜度好像是 O( 2ⁿ )，顯然過不了。

那還有什麼辦法？ (聽別人說可以用等差數列…然而我才初中，並不會) 還記得小學裡，老師讓算從1加到100嗎？ 還記得那個高斯，他把 1+99 , 2+98 , 3+97 這樣，一個一個加起來的嗎？ 那我們也這樣，手玩一下，找到公式: sum(1+2+3+4+…+ r (r是偶數) ) = (r/2 -1)*r+r/2+r 此處的r就是行數, r=2ⁿ

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define p 1000000007
#define LL long long

LL inp()
{
    LL Ans;char c;bool o=false;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')o=true;Ans=c-48;
 

    while((c=getchar())>='0'&&c<='9')Ans=(Ans<<3)+(Ans<<1)+c-48;
    return o==true?-Ans:Ans;
}

LL n,r,rr;

LL ksm(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=(ans*a)%p;
        b>>=1;
        a=(a*a)%p;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    n=inp();
    if(n==0){cout<<1;return 0;}
    if(n==1){cout<<3;return 0;}
    if(n==2){cout<<10;return 0;}
    LL ans=(ksm(2,2*n-1)+ksm(2,n-1))%p;
    cout<<ans<<endl;
}

考試時，看到這個題後很快就有的思路。 打完之後，腦跑資料都對，可一到大樣例就不對，後來又換dp做法，矩陣優化，暴力，就是過不了大樣例，心態直接炸了。再加上後面三個題都沒有思路，直接放棄…當時覺得，我的思路都沒錯啊，就是不對。 結果考完試，才發現，我誤以為1年時有1條魚，所有的n都應該是n-1。到luogu一交0->100。 煩死了啊… 未完待續