1.基於棧的問題分析

我們把n個元素的出棧個數的記為f(n), 那麼對於1,2,3, 我們很容易得出：

 f(1) = 1     //即 1

 f(2) = 2     //即 12、21

 f(3) = 5     //即 123、132、213、321、231
 

然後我們來考慮f(4), 我們給4個元素編號為a,b,c,d, 那麼考慮：元素a只可能出現在1號位置，2號位置，3號位置和4號位置(很容易理解，一共就4個位置，比如abcd,元素a就在1號位置)。

分析：

1) 如果元素a在1號位置，那麼只可能a進棧，馬上出棧，此時還剩元素b、c、d等待操作，就是子問題f(3)；

2) 如果元素a在2號位置，那麼一定有一個元素比a先出棧，即有f(1)種可能順序（只能是b），還剩c、d，即f(2)，     根據乘法原理，一共的順序個數為f(1) * f(2)；

3) 如果元素a在3號位置，那麼一定有兩個元素比1先出棧，即有f(2)種可能順序（只能是b、c），還剩d，即f(1)，

    根據乘法原理，一共的順序個數為f(2) * f(1)；

4) 如果元素a在4號位置，那麼一定是a先進棧，最後出棧，那麼元素b、c、d的出棧順序即是此小問題的解，即f(3)；

結合所有情況，即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);

為了規整化，我們定義f(0) = 1；於是f(4)可以重新寫為：

f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)

然後我們推廣到n，推廣思路和n=4時完全一樣，於是我們可以得到：

f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

即

但這只是一個遞推公式（若程式設計實現，需要維護一個一維陣列，時間複雜度為O(n^2)）。怎麼把它轉化為通項公式呢，複雜度僅為O(1)?

2. 相關的求解方法

（1）非常規數值分析

對於每一個數來說，必須進棧一次、出棧一次。我們把進棧設為狀態‘1’，出棧設為狀態‘0’。n個數的所有狀態對應n個1和n個0組成的2n位二進位制數。由於等待入棧的運算元按照1‥n的順序排列、入棧的運算元b大於等於出棧的運算元a(a≤b)，因此輸出序列的總數目=由左而右掃描由n個1和n個0組成的2n位二進位制數，1的累計數不小於0的累計數的方案種數。

在2n位二進位制數中填入n個1的方案數為c(2n,n),不填1的其餘n位自動填0。從中減去不符合要求（由左而右掃描，0的累計數大於1的累計數）的方案數即為所求。

不符合要求的數的特徵是由左而右掃描時，必然在某一奇數位2m+1位上首先出現m+1個0的累計數和m個1的累計數，此後的2(n-m)-1位上有n-m個 1和n-m-1個0。如若把後面這2(n-m)-1位上的0和1互換，使之成為n-m個0和n-m-1個1，結果得1個由n+1個0和n-1個1組成的2n位數，即一個不合要求的數對應於一個由n+1個0和n-1個1組成的排列。

反過來，任何一個由n+1個0和n-1個1組成的2n位二進位制數，由於0的個數多2個，2n為偶數，故必在某一個奇數位上出現0的累計數超過1的累計數。同樣在後面部分0和1互換，使之成為由n個0和n個1組成的2n位數，即n+1個0和n-1個1組成的2n位數必對應一個不符合要求的數。

因而不合要求的2n位數與n+1個0，n－1個1組成的排列一一對應。

顯然，不符合要求的方案數為c(2n,n+1)。

      由此得出輸出序列的總數目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=c(2n,n)/(n+1)。其中，n為節點的個數。

（2）從影象上分析

事實上，可以認為問題是，任意兩種操作，要求每種操作的總次數一樣，且進行第k次操作2前必須先進行至少k次操作1。我們假設一個人在原點，操作1是此人沿右上角45°走一個單位（一個單位設為根號2，這樣他第一次進行操作1就剛好走到（1,1）點），操作2是此人沿右下角45°走一個單位。第k次操作2前必須先進行至少k次操作1，就是說明所走出來的折線不能跨越x軸走到y=-1這條線上！在進行n次操作1和n此操作2後，此人必將到到達（2n，0）！若無跨越x軸的限制，折線的種數將為C（2n，n），即在2n次操作中選出n次作為操作1的方法數。

現在只要減去跨越了x軸的情況數。對於任意跨越x軸的情況，必有將與y=-1相交。找出第一個與y=-1相交的點k，將k點以右的折線根據y=-1對稱（即操作1與操作2互換了）。可以發現終點最終都會從（2n，0）對稱到（2n，-2）。由於對稱總是能進行的，且是可逆的。我們可以得出所有跨越了x軸的折線總數是與從（0,0）到（2n,-2）的折線總數。而後者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1為n-1,操作2為n+1。總數為C（2n，n-1）。（此處類似於上面的數值角度分析）

（3）卡特蘭數介紹

令h(0)=1,h(1)=1，catalan數滿足遞推式[1]：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

遞推關係的解為：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

遞推關係的另類解為：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

3.類似的問題

（1）買票找零

有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院無其它鈔票，問有多少中方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？(將持5元者到達視作將5元入棧，持10元者到達視作使棧中某5元出棧)

（2）一個有n個1和n個-1組成的字串，且前k個數的和均不小於0，那這種字串的總數為多少？

（3）飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個地放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？

最終結果：C(2n,n)-C(2n,n+1)