前言

為了學習多檢視幾何，有很多數學的基礎需要去補充，目前為止，博主能力有限，有錯誤的地方則歡迎指正，本系列博文和多檢視幾何筆記將會一同編寫（如果我沒編寫完，或許我也沒看懂或者做實驗太忙了，見諒）。

系列博文參考的有慕尼黑工業大學(TUM)的課程，圖靈出版社出版的《線性代數應該這樣學》第三版和部分高校的教材。

為了這一系列博文的基礎性質，我們省略掉了一些較為基礎又總所周知的知識，比如 $\mathbb{C}^n$ 和 $\mathbb{R}^n$ 的定義，集合的定義等。大多數採用的是眾所周知的符號。

部分在多幾何檢視大概無用的知識點（子集和交併和直和等等），不會填入（如果有需要會在後面加）。

多檢視幾何的數學基礎知識的掌握（1）

線性空間

集合 $V$ 被稱為線性空間或者在域 $\mathbb{R}$ 上的向量空間，僅當它在向量加法

$+:V\times V \rightarrow V$

和標量乘法

$\cdot:\mathbb{R}\times V \rightarrow V$ ，

例如 $\alpha V_1+\beta V_2 \in V,\forall V_1,V_2 \in V,\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}$

,V2∈V,∀α,β∈R

上封閉。

關於加法 $(+)$ ，它形成一個交換群（存在零元素 0，逆元素 $-V$ ）。標量乘法遵循 $\mathbb{R}$ 的結構： $\alpha(\beta u)=(\alpha\beta) u$ 。乘法和加法遵循分配律：

$(\alpha+\beta) V = \alpha V+\beta V$

$\alpha ({\mathrm v}+\mathrm u) = \alpha \mathrm v+\alpha \mathrm u$

+αu

這裡我們需要給出向量空間關於在大學中較為嚴謹的定義。

線性空間的定義

給定一個域 $F$ ( $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{C}$ ),一個非空集合 $V$ 叫做 $F$ 上的一個向量空間(vector space)也叫線性空間，如果定義了兩種運算：向量加法+和純量乘法(乘號通常省略不寫)，其中加法是 $V\times V$ 到 $V$ 的一個對映，純量乘法是 $F\times V$ 到 $V$ 的一個對映，並滿足以下幾個性質:

交換律： $\forall x,y \in V$ ,滿足 $x+y=y+x$
結合律： $\forall x,y,z\in V$ ,滿足 $(x+y)+z=x+(y+z)$
存在零元素： $x+0=x$
存在逆元素： $\forall x \in V,\exist y\in V$ ，滿足 $x+y=0$
數因子分配律： $\forall x,y\in V,\forall k \in F$ ，滿足 $k(x+y)=kx+ky$
分配律： $\forall x\in V,\forall k,l\in F$ ,滿足 $,(k+l)x=kx+lx$
乘法結合律： $\forall x\in V,\forall k,l\in F$ 滿足 $k(lx)=(kl)x$
乘法單位元： $\forall x\in V$ 滿足 $1x=x$

小題目

假定 $\mathbb{R}^+$ 為正實陣列成的集合，其加法和乘法運算定義為

$m \boxplus n=mn,k \circ m=m^k$

驗證它是 $\mathbb{R}^+$ 上的線性空間。

證明

要證明是線性空間，則證明加法和數乘封閉，所以滿足那八條性質才可。

結合律： $(m \boxplus n) \boxplus p=mnp=m \boxplus (np)=m\boxplus (n\boxplus p)$

： $m\boxplus n=mn=nm=n\boxplus m$

存在零元素：可以發現是1是零元素，因為 $m\boxplus = m\times1=m$

存在逆元素：可以發現逆元素是 $\frac{1}{m}$ ，因為 $m\boxplus \frac{1}{m}=m\times \frac{1}{m}=1$

數因子分配律： $k \circ (m\boxplus n)=k \circ (mn)=(mn)^k=m^kn^k=(k \circ m)\boxplus (l \circ m)$

分配律： $(k \boxplus l)\circ m=m^{k+l}=m^km^l=(k \circ m)\boxplus (l\circ m)$

乘法結合律： $k \circ (l \circ m)=k \circ m^l=(m^l)^k=m^{lk}=m^{kl}=(kl) \circ m$

乘法單位元: $1 \circ m=m^1=m$

所以滿足8條性質，故而是在 $\mathbb{R}^+$ 上線性空間。

舉個例子

$V = \mathbb{R}^n,\mathrm v=\rm (x_1,x_2,x_n)^T$

$n$ 維實數空間 $\mathbb{R}^n$ 或 $n$ 維複數空間 $\mathbb{C}^n$ ，其中加法數乘運算為向量的加法和數乘元素

次數不超過 $n$ 的多項式全體 $P[x]_n=\{p=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i | a_0,a_1,...,a_n\in \mathbb{R} \}$

子空間

向量空間 $V$ 的子集 $W\sub V$ 稱為子空間，僅當 $0\in W$

多檢視幾何的數學基礎知識的掌握(1)--線性代數相關

前言

多檢視幾何的數學基礎知識的掌握（1）

線性空間

線性空間的定義

小題目

舉個例子

子空間

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