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本圖示最大流的一個例項。由此，可以引出最大流的一些基本的定義和概念

一：介紹

１、網路流的相關定義：

• 源點：有n個點，有m條有向邊，有一個點很特殊，只出不進，叫做源點。
• 匯點：另一個點也很特殊，只進不出，叫做匯點。
• 容量和流量：每條有向邊上有兩個量，容量和流量，從i到j的容量通常用c[i,j]表示,流量則通常是f[i,j].
• 最大流：把源點比作工廠的話，問題就是求從工廠最大可以發出多少貨物，是不至於超過道路的容量限制，也就是，最大流。
• 通常可以把這些邊想象成水管道，流量就是這條道路的水流量，容量就是道路可承受的最大的水流量。
• 很顯然的，流量<=容量。
• 而對於每個不是源點和匯點的點來說，可以類比的想象成沒有儲存功能的貨物的中轉站，所有“進入”他們的流量和等於所有從他本身“出去”的流量。
• 那麼，我們一定能找到這條路上的每一段的(容量-流量)的值當中的　最小值delta。我們把這條路上每一段的流量都加上這個delta，一定可以保證這個流依然是可行流，這是顯然的。
• 這樣我們就得到了一個更大的流，他的流量是之前的　流量+delta　，而這條路就叫做增廣路。我們不斷地從起點開始尋找增廣路，每次都對其進行增廣，直到源點和匯點不連通，也就是找不到增廣路為止。
• 當找不到增廣路的時候，當前的流量就是最大流，這個結論非常重要。

２、

３、一個最簡單的例子就是，零流

• (1).我們就從這個　零流　開始考慮，假如有這麼一條路，這條路從源點開始一直一段一段的連到了匯點，並且，這條路上的每一段都滿足　流量　<　容量，注意，是嚴格的　<,而不是　<=（可以理解成如果等於容量的話，還得去考慮管道的生命力，先簡單的理解一下趴）

４、引出最大流的概念

二、演算法分析：

１、

所以說，演算法的關鍵在於

1）何為增廣路徑，如何找出增廣路徑。

2）如何更新流量

２、增廣矩陣的概念

（　ｆ（ｕ，ｖ）是當前的流量，　ｃ（ｕ，ｖ）是總的容量　）

說的直白些，所謂增廣路徑，就是找到這樣一條路徑，其流量不滿，未達到容量上限。

所有的可能的增廣路徑在一起便構成了殘留網路。

那麼，如何增廣呢。

３、增廣路

簡單解釋一下：

第一步，計算可增加流量

設某一增廣路徑上的節點為（a1,a2,a3,a4,....,an）

如果（u,v）是正向邊，則增加流量d = min{ c(ai,aj) - f(ai,aj) | j = i +1, i =1,2,3...,n-1}

如果是逆向邊，則增加流量d = min{ f(ai, aj) | j = i +1, i =1,2,3...,n-1}

第二步，更新流量

如果（u,v）是正向邊，則 f(u,v) = f(u,v) + d

是逆向邊，則f(u,v) = f(u,v) - d

注意，如果是逆向邊，就是減法，當前管道從中減去部分流量，而且，伴隨著這部分減去的流量，必有另一部分管道的流量會增加，而且，最後的總流量增加了d

結合上述演算法，可以詳細參閱下下列圖示

可以證明，可行流為最大流，當且僅當不存在新的增廣路徑。

總結一下最大流演算法

如何尋找增廣路徑，採用DFS和BFS的方法。然後在更新流量。