求解兩個字串的最長公共子序列
一，問題描述
給定兩個字串，求解這兩個字串的最長公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字串1：BDCABA；字串2：ABCBDAB
則這兩個字串的最長公共子序列長度為4，最長公共子序列是：BCBA
二，演算法求解
這是一個動態規劃的題目。對於可用動態規劃求解的問題，一般有兩個特徵：①最優子結構；②重疊子問題
①最優子結構
設 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是兩個序列，將 X 和 Y 的最長公共子序列記為LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一個最優化問題。因為，我們需要找到X 和 Y中最長的那個公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考慮X的最後一個元素和Y的最後一個元素。
1）如果 xn=ym，即X的最後一個元素與Y的最後一個元素相同，這說明該元素一定位於公共子序列中。因此，現在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原問題的一個子問題。為什麼叫子問題？因為它的規模比原問題小。（小一個元素也是小嘛....）
為什麼是最優的子問題？因為我們要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最長公共子序列啊。。。最長的！！！換句話說，就是最優的那個。（這裡的最優就是最長的意思）
2）如果xn != ym，這下要麻煩一點，因為它產生了兩個子問題：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)
因為序列X 和 序列Y 的最後一個元素不相等嘛，那說明最後一個元素不可能是最長公共
LCS(Xn-1，Ym)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最長公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面兩個子問題，得到的公共子序列誰最長，那誰就是 LCS（X,Y）。用數學表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由於條件 1) 和 2) 考慮到了所有可能的情況。因此，我們成功地把原問題 轉化 成了 三個規模更小的子問題。
②重疊子問題
重疊子問題是啥？就是說原問題 轉化 成子問題後， 子問題中有相同的問題。咦？我怎麼沒有發現上面的三個子問題中有相同的啊？？？？
OK，來看看，原問題是：LCS(X,Y)。子問題有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)
初一看，這三個子問題是不重疊的。可本質上它們是重疊的，因為它們只重疊了一大部分。舉例：
第二個子問題：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：問題❶LCS(Xn-1，Ym-1)，為什麼？
因為，當Xn-1 和 Ym 的最後一個元素不相同時，我們又需要將LCS(Xn-1，Ym)進行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)
也就是說：在子問題的繼續分解中，有些問題是重疊的。
由於像LCS這樣的問題，它具有重疊子問題的性質，因此：用遞迴來求解就太不划算了。因為採用遞迴，它重複地求解了子問題啊。而且注意哦，所有子問題加起來的個數 可是指數級的哦。。。。
這篇文章中就演示了一個遞迴求解重疊子問題的示例。
那麼問題來了，你說用遞迴求解，有指數級個子問題，故時間複雜度是指數級。這指數級個子問題，難道用了動態規劃，就變成多項式時間了？？
呵呵噠。。。。
關鍵是採用動態規劃時，並不需要去一 一 計算那些重疊了的子問題。或者說：用了動態規劃之後，有些子問題 是通過 “查表“ 直接得到的，而不是重新又計算一遍得到的。廢話少說：舉個例子吧！比如求Fib數列。關於Fib數列，可參考：
求fib(5)，分解成了兩個子問題：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)時，又分解了一系列的小問題....
從圖中可以看出：根的左右子樹：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重疊的！！！比如，對於 fib(2)，它就一共出現了三次。如果用遞迴來求解，fib(2)就會被計算三次，而用DP(Dynamic Programming)動態規劃，則fib(2)只會計算一次，其他兩次則是通過”查表“直接求得。而且，更關鍵的是：查詢求得該問題的解之後，就不需要再繼續去分解該問題了。而對於遞迴，是不斷地將問題分解，直到分解為 基準問題(fib(1) 或者 fib(0))
說了這麼多，還是要寫下最長公共子序列的遞迴式才完整。借用網友的一張圖吧：）
c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最長公共子序列的長度。（是長度哦，就是一個整數嘛）。公式的具體解釋可參考《演算法導論》動態規劃章節
程式碼實現：
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> int LCSLength(char* str1, char* str2, int **b) { int i,j,length1,length2,len; length1 = strlen(str1); length2 = strlen(str2); //雙指標的方法申請動態二維陣列 int **c = new int*[length1+1]; //共有length1+1行 for(i = 0; i < length1+1; i++) c[i] = new int[length2+1];//共有length2+1列 for(i = 0; i < length1+1; i++) c[i][0]=0; //第0列都初始化為0 for(j = 0; j < length2+1; j++) c[0][j]=0; //第0行都初始化為0 for(i = 1; i < length1+1; i++) { for(j = 1; j < length2+1; j++) { if(str1[i-1]==str2[j-1])//由於c[][]的0行0列沒有使用，c[][]的第i行元素對應str1的第i-1個元素 { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=0; //輸出公共子串時的搜尋方向 } else if(c[i-1][j]>c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; b[i][j]=1; } else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=-1; } } } /* for(i= 0; i < length1+1; i++) { for(j = 0; j < length2+1; j++) printf("%d ",c[i][j]); printf("\n"); } */ len=c[length1][length2]; for(i = 0; i < length1+1; i++) //釋放動態申請的二維陣列 delete[] c[i]; delete[] c; return len; } void PrintLCS(int **b, char *str1, int i, int j) { if(i==0 || j==0) return ; if(b[i][j]==0) { PrintLCS(b, str1, i-1, j-1);//從後面開始遞迴，所以要先遞迴到子串的前面，然後從前往後開始輸出子串 printf("%c",str1[i-1]);//c[][]的第i行元素對應str1的第i-1個元素 } else if(b[i][j]==1) PrintLCS(b, str1, i-1, j); else PrintLCS(b, str1, i, j-1); } int main(void) { char str1[100],str2[100]; int i,length1,length2,len; printf("請輸入第一個字串："); gets(str1); printf("請輸入第二個字串："); gets(str2); length1 = strlen(str1); length2 = strlen(str2); //雙指標的方法申請動態二維陣列 int **b = new int*[length1+1]; for(i= 0; i < length1+1; i++) b[i] = new int[length2+1]; len=LCSLength(str1,str2,b); printf("最長公共子序列的長度為：%d\n",len); printf("最長公共子序列為："); PrintLCS(b,str1,length1,length2); printf("\n"); for(i = 0; i < length1+1; i++)//釋放動態申請的二維陣列 delete[] b[i]; delete[] b; system("pause"); return 0; }