KKT條件主要涉及凸優化問題，學習SVM的時候求解拉格朗日函式的對偶問題時，需要使用KKT條件來得到最終的。

1、對於無約束問題(unconstrained minimization):

1) 一階必要條件為：

2) 二階必要條件為：

                                      即Hessian半正定

2、等式約束問題(Equality constraints):

原問題為：

為目標函式，為約束條件

eg：

當時，即和共線，在此處可到最優解(在約束條件的邊界上)。

1）

2) 優化問題的拉格朗日函式為：

3) 存在最優解的條件為：

等價於

3、不等式約束問題(Inequality constraints)：

原問題：

對於不等式約束來說有兩種情況：

1）第一種情況是約束條件的影象在內部：

eg:

由於在的內部，此時最優解在他們的原點，這種情況可看成是無約束問題

2）第二種情況為：約束條件的區域與重疊

eg:

與影象有重疊，最終的最優解在約束條件的邊界上取得

原問題的拉格朗日函式為：

因此有：

綜上可得到KKT條件為：

注:稱為互補鬆弛條件