正交表學習筆記
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正交表入門
作者:laomai
釋出時間: 2007/12/09
2011/12/11修改
第一章正交表的概念
§1-1引子
在科研和生產實踐中,人們往往要做許多次實驗來進行某項研究。實驗條件一般包括很多因素,當因素的值不同時,實驗的結果也不一樣。如果想把每個因素的每個值都要實驗一遍,總實驗數就等於各因素的值的個數的乘積,而這個數往往很大,超過了可接受的成本。
例如,假設某個實驗的結果由A,B,C,D四個因素的取值決定,每個因素都有10個不同的取值,那麼如果想把每個取值都考慮到的話,我們需要做
為了減少實驗數目,我們必須選出那些最有代表性的例子。於是,就要用到了正交表法(Orthogonal Array Testing Strategy)。
正交表是一種篩選實驗用例的方法。在介紹其具體內容前,我們先引入幾個基本概念。
⑴因素個數Factors,以後在本文中用F代替,一個因素就對應著正交表中的一列。
⑵水平數Levels,以後簡寫為L。他的含義就是每個因素可取值的個數,注意這裡我們不關心每個具體的值是多少,關心的是其個數。
變數的具體取值我們稱做水平值,在與水平數不發生混淆的情況下,簡稱水平,用變數名+編號表示。比如,一個因素A可能有三個水平,則可記為A1,A2,A3.
⑶強度Strength,以後簡寫為S:強度是構造正交表的一個最重要的指標,正交表的核心性質就是a:z在正交表中後S個因素的每個水平值要相互碰一次且只碰一次。b:任給兩條正交表中的記錄,它倆不存在完全相同的S列。c、正交表的記錄數等於最後S列的水平數的乘積。
強度具體取多少由實驗者決定.給定了強度S以後,最終的正交表記錄數就是最後S列的水平數的乘積。
⑷次數(Runs):最後生成的正交表的記錄數,一條(行)記錄也就是一次實驗。
⑸正交表的符號表示:先以字母L打頭,下標r表示記錄數,
括號中為具有相同水平數的因子數的項的連乘積。
Lr(Levelsfactors×Levelsfactors×…×Levelsfactors
給幾個具體例子,
⑴設有3個因素A,B,C,每個因素的水平數均為3時,生成的正交表為L27(33)(取強度等於3的情況),記錄數27=3*3*3
⑵設有5因素,每個因素的水平數分別2,2,2,3,3時,不同強度S的生成正交表分別為
s=2時,結果為L9(23×32),記錄數為最後兩個變數的水平數乘積3*3=9
s=3時,結果為L18(23×32),記錄數為最後三個變數的水平數乘積2*3*3=18。
§1-2手工構造正交表
看一個具體例子:設有4個變數A,B,C,D,前三個變數的水平數為3,最後一個變數的水平數為4,那麼,根據不同的強度,可得到不同的正交表。
強度s=2時,得到的原始正交表L12(33×4)如下所示:
記錄號ABCD
1 :1111
2 :1222
3 :1333
4 :2123
5 :2214
6 :3132
7 :3321
8 :0231
9 :0312
10 :0013
11 :0024
12 :0034
可以看出C的每個水平值與D的每個水平值各碰一次且僅碰一次。而A、B的每個水平出現的次數也很均勻。並且任何在相同位置的兩列組成的有序數對沒有重複值。
上面這個表的具體構造過程是:
1、首先要算出4個因素的所有水平值的笛卡爾積,也就是把所有因素的水平值都互相碰一遍,這樣一共是3*3*3*4=108條記錄。
我們用編號“1111”、“1112”、“1113”、“1114”、“1121”.....“3334”來代表這108條記錄。每一位上的數字代表該列因素所取的水平值。
2、現在從這128記錄中過濾出符合S維正交性的記錄(預先透漏。符合條件的記錄數要比12少,呵呵)。下面就是過濾的具體過程:
3、將第一條記錄“1111”寫到正交表中。
4、考察笛卡爾積中的第二條記錄“1112”,注意正交表的核心屬性之一就是:正交表的任意兩條記錄不能有S列完全相同。而1112的前兩列是"11",與第一條的記錄前兩列"11"重複,所以要把1112淘汰掉,同理,所有以"11"開頭的記錄都要被淘汰掉。
5、考慮以"12"開頭的第一條記錄"1211",這個記錄的最後兩列是"11",與第一列的最後兩列重複。也要被淘汰。
6、類似的,所有含有字串"11XX","1X1X","X11X","XX11","X1X1","1XX1"(X代表該列的任意水平值)的記錄都要被淘汰掉,因為他們都和第一行的記錄有2列是重複的。
7、經過上面的過濾,可以得到正交表的第二條記錄是"1222",這個字串的任何兩列都與第一行的"1111"的對應兩列不完全相同。
8、同樣的,正交表的第三條記錄要和前兩條記錄的任何兩列都沒有重複值,根據這個原則,"1223"(與第二條記錄的有相同的前兩列)、"1311"(與第一條記錄有相同的後兩列)等都要被淘汰掉。
第三條記錄應該是“1333”。第4條記錄到第7條記錄的選拔過程與之類似。
9、到記錄"3321"為止,我們從4因素笛卡爾積的108記錄裡得到了7條記錄符合正交性。
10、讀者可以自行驗證:從記錄"3322"起到"3334"止,再沒有符合正交性的記錄,而題意要求得到12條記錄,那麼剩下的5條記錄是怎麼得到的呢?請繼續往下看。
11、現在考慮後三個因素構成的笛卡爾積,這個笛卡爾積有3*3*4=36條記錄,用編號
“0111”到“0334”表示(注意這裡是考慮後三列,所以第一列用0填充了),現在繼續從這36條記錄中記錄選取符合S維正交性的記錄,那麼與前面的過程4-8類似,我們可以看到“0111”到“0224”都不符合正交性,而“0231”和正交表的前7條記錄沒有重複的2列,所以把"0231"作為第8條記錄,
12、請讀者自行驗證,過濾出了“0231”,"0312"兩條記錄後,後三列的笛卡爾積中再沒有正交性的記錄了。
13、現在遍歷後兩列組成的笛卡爾積,用編號"0011"到"0034"表示,在這個笛卡爾積的3*4=12條記錄中,恰好有3條記錄“0013”“0024”“0034”與前面各行都沒有重複的兩列。
至此,原始正交表的12條記錄全部構造完畢。
為了保持取值的均勻性,我們用因素的水平值迴圈填充為0的項。要求填充之後同一因素的每個水平值的出現次數基本相等,最多相差一次。因此,填充的原則是:填充時優先選取本列中出現次數最少的水平值,如果次數一樣,則選擇編號最小的那個水平值。
得到最終的正交表為
ABCD
1 :1111
2 :1222
3 :1333
4 :2123
5 :2214
6 :3132
7 :3321
8 :2231
9 : 3 3 1 2
10 : 1 1 1 3
11 : 2 2 2 4
12 : 3 3 3 4
紅色數字就是我們用水平值迴圈填充後的結果。
類似的我們可以得到強度為3的正交表L36(33×4),
記錄數為4*3*3=36.
ABCD
1 :1111
2 :1122
3 :1133
4 :1212
5 :1221
6 :1234
7 :1313
8 :1324
9 :1331
10 :2112
11 :2121
12 :2134
13 :2211
14 :2222
15 :2233
16 :2314
17 :2323
18 :2332
19 :3113
20 :3124
21 :3131
22 :3214
23 :3223
24 :3232
25 :3311
26 :3322
27 :3333
28 :0114
29 :0123
30 :0132
31 :0213
32 :0224
33 :0231
34 :0312
35 :0321
36 :0334
讀者可自行填充其中的0項,得到最後的結果
$1-3正交表的基本數學性質
設正交表的強度為S,則正交表有以下數學性質
1、正交性:從上面的構造過程中可以看出,正交性具體體現在:
⑴在最後S列中,每列因素的一個水平值與其他列中的每個水平值相碰一次且只碰一次。換句話說,最後S列構成的子表是滿的。因此,正交表的記錄個數=最後S列的水平數的乘積。
⑵在從正交表中任取S列,得到一個子集,該子集中沒有完全相同的記錄(即正交表任何兩條記錄都不能有完全相同的S列)。這是構造正交表的核心原則。
(3)構造正交表時,我們要依次遍歷:所有N列構成的笛卡爾積、右邊N-1列構成的笛卡爾積、右邊N-2列構成的笛卡爾積、一直遍歷到右邊S列構成的笛卡爾積,每次都要對笛卡爾積中的每條記錄進行檢查,看看它與正交表中的某條已有記錄是否有S列完全相同,是的話就淘汰掉。所以檢查的核心演算法是:
設X為笛卡爾積中的待檢查記錄,Y為正交表中的已有記錄。設定一個記數器C=0,
將X與Y按位比較,當X與Y的某列相等時,計數器加1.
當計數器C的值大於等於強度S時,X被淘汰;如果X與Y的各位均比較完後,C<S,則將X加入正交表中。
2、均勻性:每個因素的水平值在表中的出現的次數是基本均勻的,對最後S列中的每一列,每個水平值出現的次數相等。
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