學習離散數學第一天
阿新 • • 發佈:2018-12-21
1.運算的本質是集合之間的特殊對映。
2.表示式:當且僅當能夠有限次的應用數,未知數,運算子,括號的符號串為表示式。表示式是一個遞迴定義,遞迴的出口是數和未知數。
3.命題:能夠確定真值的陳述句稱為命題。真值只有真假兩種用T和F表示不能有悖論。
4.在數理邏輯中,我們使用大寫字母,帶下標的大寫字母,數字表示命題。
5.如果一個命題識別符號表示確定的命題,就被稱為命題常元。如果只表示任意命題的位置標誌,就被稱為命題變元,命題變元可以表示任意命題,所以真假不確定,所以命題變元不是命題。
6.原子命題:不能分解為更簡單的陳述句稱為原子命題。
7.複合命題:由連線詞、標點符號、原子命題複合構成的命題,被稱為複合命題。
8.非,不是,用﹁表示 ﹁P讀作非P。單目運算
P | ﹁P |
1 | 0 |
0 | 1 |
9.和,與,用∧表示 P∧Q讀作P合取Q。二目運算
P | Q | P∧Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
10.或,用∨表示 P∨Q讀作P析取Q。二目運算
P | Q | P∨Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
11.若P則Q則,P是Q的充分條件。P為前件Q為後件 用P→Q表示 讀作P蘊含Q。二目運算
P | Q | P→Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
12.想到用符號↔表示 雙條件
P | Q | P↔Q |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
優先順序從上到下。
重言式(永真式):命題變元所有賦值都是命題公式的成真賦值;如A∨﹁A
矛盾式(永假式):命題變元所有賦值都是命題公式的成假賦值;如A∧﹁A
可滿足式:命題公式至少有一個成真賦值;
永真式都是可滿足式,矛盾式都不是可滿足式;
非永真式並不都是永假式;
對於永真式A,﹁A就是永假式;
若A↔B是重言式,那麼A邏輯等價於B記作A<=>B;
邏輯等價式:
﹁﹁A<=>A | 雙重否定律 | |
A∧A<=>A | 冪等律 | |
A∨A<=>A | ||
A∧B<=>B∧A | 交換律 | |
A∨B<=>B∨A | ||
(A∧B)∧C<=>A∧(B∧C) | 結合律 | |
(A∨B)∨C<=>A∨(B∨C) | ||
A∧(B∨C)<=>(A∧B)∨(A∧C) | 分配律 | |
A∨(B∧C)<=>(A∨B)∧(A∨C) | ||
﹁(A∧B)<=>﹁A∨﹁B | 德摩根律 | |
﹁(A∨B)<=>﹁A∧﹁B | ||
A∧(A∨B)<=>A | 吸收律 | |
A∨(A∧B)<=>A | ||
A→B<=>﹁A∨B | 蘊含等值式 | |
A↔B<=>(A→B)∧(B→A) | 等價等值式 | |
A∨t<=>t | 零律 | |
A∧f<=>f | ||
A∨f<=>A | 同一律 | |
A∧t<=>A | ||
A∨﹁A<=>t | 排中律 | |
A∧﹁A<=>f | 矛盾律 | |
﹁t<=>f | ||
﹁f<=>t | ||
A∧B→C<=>A→(B→C) | 輸出律 | |
A→B<=>﹁B→﹁A | 假言易位 | |
(A→B)∧(A→﹁B)<=>﹁A | 歸謬論 | |
A↔B<=>(A∧B)∨(﹁A∧﹁B) | 等價等值式2 |