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學習離散數學第一天

1.運算的本質是集合之間的特殊對映。

2.表示式:當且僅當能夠有限次的應用數,未知數,運算子,括號的符號串為表示式。表示式是一個遞迴定義,遞迴的出口是數和未知數。

3.命題:能夠確定真值的陳述句稱為命題。真值只有真假兩種用T和F表示不能有悖論。

4.在數理邏輯中,我們使用大寫字母,帶下標的大寫字母,數字表示命題。

5.如果一個命題識別符號表示確定的命題,就被稱為命題常元。如果只表示任意命題的位置標誌,就被稱為命題變元,命題變元可以表示任意命題,所以真假不確定,所以命題變元不是命題。

6.原子命題:不能分解為更簡單的陳述句稱為原子命題。

7.複合命題:由連線詞、標點符號、原子命題複合構成的命題,被稱為複合命題。

8.非,不是,用﹁表示  ﹁P讀作非P。單目運算

P ﹁P
1 0
0 1

9.和,與,用∧表示  P∧Q讀作P合取Q。二目運算

P Q P∧Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0

10.或,用∨表示 P∨Q讀作P析取Q。二目運算

P Q P∨Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

11.若P則Q則,P是Q的充分條件。P為前件Q為後件  用P→Q表示 讀作P蘊含Q。二目運算

P Q P→Q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

12.想到用符號↔表示  雙條件

P Q P↔Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

優先順序從上到下。

重言式(永真式):命題變元所有賦值都是命題公式的成真賦值;如A∨﹁A

矛盾式(永假式):命題變元所有賦值都是命題公式的成假賦值;如A∧﹁A

可滿足式:命題公式至少有一個成真賦值;

永真式都是可滿足式,矛盾式都不是可滿足式;

非永真式並不都是永假式;

對於永真式A,﹁A就是永假式;

若A↔B是重言式,那麼A邏輯等價於B記作A<=>B;

邏輯等價式:

﹁﹁A<=>A 雙重否定律
A∧A<=>A 冪等律
A∨A<=>A
A∧B<=>B∧A 交換律
A∨B<=>B∨A
(A∧B)∧C<=>A∧(B∧C) 結合律
(A∨B)∨C<=>A∨(B∨C)
A∧(B∨C)<=>(A∧B)∨(A∧C) 分配律
A∨(B∧C)<=>(A∨B)∧(A∨C)
﹁(A∧B)<=>﹁A∨﹁B 德摩根律
﹁(A∨B)<=>﹁A∧﹁B
A∧(A∨B)<=>A 吸收律
A∨(A∧B)<=>A
A→B<=>﹁A∨B 蘊含等值式
A↔B<=>(A→B)∧(B→A) 等價等值式
A∨t<=>t 零律
A∧f<=>f
A∨f<=>A 同一律
A∧t<=>A
A∨﹁A<=>t 排中律
A∧﹁A<=>f 矛盾律
﹁t<=>f
﹁f<=>t
A∧B→C<=>A→(B→C) 輸出律
A→B<=>﹁B→﹁A 假言易位
(A→B)∧(A→﹁B)<=>﹁A 歸謬論
A↔B<=>(A∧B)∨(﹁A∧﹁B) 等價等值式2