前言

$Min25$篩是一種能夠用於求解積性函式 $f(x$

過程

首先，對於每一個 $\lfloor \frac{n}{x} \rfloor$，我們求出 $\sum_{x\leq,nx是質數} h(x)$。

設 $p_i$表示第 $i$小的質數， $g(N,i)$表示 $\sum_{x\leq n,x的最小質因子\geq p_i}h(x)$。即 $N$以內的數進行 $i$輪埃氏篩後未被篩掉的數的 $h(x)$之和（質數未被刪去），則所求即為 $g(N,|P|)$（ $|P|$為 $\leq n$的質數個數）。

考慮如何由 $g(N,i-1)$得到 $g(N,i)$。考慮第 $i$輪埃氏篩所篩去的數。當 $p_i^2 > n$時，第 $i$輪不會篩去任何數。否則，將篩去最小質因子 $\geq p_i$的合數，所以

$g(N,i)=g(N,i-1)-h(p_i)\times(g(\lfloor \frac {N} {p_i}\rfloor,i-1)-\sum_{j=1}^{i-1}h(p_i))$

因為 $p_i^2\leq N$，所以 $p_i \leq \lfloor \frac {N} {p_i}\rfloor$，所以 $\leq p_i$的質數也會被包含在 $g(\lfloor \frac {N} {p_i}\rfloor,i-1)$裡，要加回來。

綜上，

$g(N,i)=\begin{cases} g(N,i-1)&p_i^2\gt n\\ g(N,i-1)-h(p_i)\times(g(\lfloor \frac {N} {p_i}\rfloor,i-1)-\sum_{j=1}^{i-1}h(p_i))&p_i^2\le n\end{cases}$

這部分的時間複雜度是 $O(\frac {N^{\frac {3} {4}}} {log \ \ N})$

接下來考慮如何用上述資訊求