資料結構之圖（圖的簡介）
阿新 • • 發佈：2018-12-23
圖的定義：
一個圖G = (V,E)由頂點(vertex)集 V 合邊(edge)集 E 組成。每條邊(v,w)就是一個點對,其中v,w ∈ V。有時也把邊稱作弧。如果點對是有序的，那麼圖就叫做有向圖。頂點 v 和 w 領接邊 (v,w) ∈ E。在一個具有邊(v,w)從而具有邊(w,v)的無向圖，w和v鄰接那v和w也鄰接。
圖的基本術語：
- 階（Order）：圖G中頂集V的大小稱作圖G的階。
- 子圖（Sub-Graph）：G'稱作圖G=(V,E)的子圖，當圖G'=(V',E')，且V‘包含於V，E’包含於E。每個圖都是本身的子圖。
- 生成子圖（Spanning Sub-Graph）：指滿足條件V(G') = V(G)的G的子圖G。
- 度（Degree）：一個頂點的度是指與該邊相關聯的邊的條數，頂點v的度記作d(v)。
- 入度（In-degree）和出度（Out-degree）：對於有向圖來說，一個頂點的度可細分為入度和出度。一個頂點的入度是指與其關聯的各邊之中，以其為終點的邊數；出度則是相對的概念，指以該頂點為起點的邊數。
- 自環（Loop）：若一條邊的兩個頂點為同一頂點，則此邊稱作自環。
- 路徑（Path）：從u到v的一條路徑是指一個序列v0,e1,v1,e2,v2,...ek,vk，其中ei的頂點為vi及vi - 1，k稱作路徑的長度。如果它的起止頂點相同，該路徑是“閉”的，反之，則稱為“開”的。一條路徑稱為一簡單路徑(simple path)，如果路徑中除起始與終止頂點可以重合外，所有頂點兩兩不等
- 連通圖：如果在一個無向圖中從每一個頂點到每個其他頂點都存在一條路徑，則稱該無向圖是聯通的，具有這樣的有向圖成為強連通圖。
圖的儲存：
我們可以用兩種方法來儲存圖的,一種是鄰接連結串列一種是鄰接矩陣。但是有向圖和無向圖又有所不同，如下兩幅圖：
由上面兩幅圖我們可以看出無論是有向圖還是無向圖，鄰接矩陣表示法所需要的儲存空間都是 O(V^2)(v是頂點)，而鄰接連結串列是O(V+E)(V是頂點，E是邊)。當在圖頂點的個數非常多，而邊又很少的時候，採用鄰接矩陣會浪費大量的儲存空間，此時用鄰接連結串列表示法比較好。當圖的規模比較小的時候我們可以採用鄰接矩陣表示法來儲存，因為鄰接矩陣有很多優點，比如可以再O(1)時間內判斷兩條邊是否有邊。
圖的基本操作：
（1）建立一個圖結構 CreateGraph(G) （2）檢索給定頂點 LocateVex(G,elem) （3）獲取圖中某個頂點 GetVex(G,v) （4）為圖中頂點賦值 PutVex(G,v,value) （5）返回第一個鄰接點 FirstAdjVex(G,v) （6）返回下一個鄰接點 NextAdjVex(G,v,w) （7）插入一個頂點 InsertVex(G,v) （8）刪除一個頂點 DeleteVex(G,v) （9）插入一條邊 InsertEdge(G,v,w) （10）刪除一條邊 DeleteEdge(G,v,w) （11）遍歷圖 Traverse(G,v)圖的高階演算法：
1.最小生成樹（Prim和kruskal演算法）
2.單元路徑最短（Dijkstra演算法）
3.所有點對的最短路徑（Floyd-Warshall演算法）