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問題描述

一個棋盤有n條橫線，m條豎線，上面有k個黑點，問有多少個不包含黑點的矩形。

資料範圍：
n和m最大為1000，k最大為10

方法一：動態規劃

複雜度n*m*k。

import java.awt.Point;
import java.util.Comparator;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Scanner;

public class Main {
int n, m;
long dp[][];
List<Point> black;

long solve() {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int now = 0;//now表示以i，j這個點為右下角的矩形的個數
            int lastX = 0;
            int lastY = j;
            for (int k = black.size() - 1; k >= -1; k--) {
                //此處哨兵單元設計很巧妙，讓k==-1的時候自動啟用哨兵單元
                Point p;
                if (k == -1) p = new Point(i, 0);
                else p = black.get(k);
                if (p.y > j) continue;
                if (p.x > i || p.x < lastX) continue;
                now += (i - lastX) * (lastY - p.y);
                lastX = p.x;
                lastY = p.y;
            }
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + now;
        }
    }
    return dp[n][m];
}

Main() {
    Scanner cin = new Scanner(System.in);
    n = cin.nextInt();
    m = cin.nextInt();
    dp = new long[n + 1][m + 1];
    black = new LinkedList<>();
    int k = cin.nextInt();
    while (k-- > 0) {
        int r = cin.nextInt(), c = cin.nextInt();
        black.add(new Point(r, c));
    }
    //對全部點進行排序（按照列從小到大進行排序）
    black.sort(Comparator.comparing(x -> x.y));
    for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0] = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i++) dp[0][i] = 0;
    long ans = solve();
    System.out.println(ans);
}

public static void main(String[] args) {
    new Main();
}
}
 

可以通過“縮點”法降低複雜度。

方法二：容斥原理

10個點有1024種情況，判斷每種情況是否合理，然後統計個數即可。

複雜度之和k有關，跟n、m無關。