UOJ#23. 【UR #1】跳蚤國王下江南 仙人掌 Tarjan 點雙 圓方樹 點分治 多項式 FFT
阿新 • • 發佈：2018-12-23
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題目傳送門 - UOJ#23
題意
給定一個有 n 個節點的仙人掌（可能有重邊）。
對於所有的 $L(1\leq L\leq n-1)$ ，求出有多少不同的從節點 1 出發的包含 L 條邊的簡單路徑。簡單路徑是指不重複經過任意一點。
$n\leq 10^5$
題解
首先我們把走一條邊看作多項式 $x^1$ ，那麼一條長度為 L 的路徑就是其路徑上的多項式的乘積。
接下來稱“環根”為距離節點 1 最近的那個節點。
假設 $p_v$ 為點 v 對最終答案的貢獻，那麼 $p_v$ 是什麼？分兩種情況討論：
1. v 屬於某個環且 v 不是該環的環根。那麼顯然這個環的環根（設為 u）更靠近 1 ，假設 v 到 u 的兩條路徑長度分別是 a 和 b ，那麼 $p_v=p_u \times (x^a+x^b)$ 。
2. 假設有一個點 u 不和 v 在同一個環中，且 u 距離 1 比 v 距離 1 更近，那麼 $p_v=p_v\times x$ 。
於是到此為止我們已經可以輕鬆的解決 50 分了。
然而跳蚤國的疆域著實太大……
考慮對於仙人掌進行點分治，然後對於當前連通塊 $T$ ，我們找點分中心 $x$ 。
怎麼找點分中心？——類比找樹的點分中心，"找一個結點，把和它相連的邊都斷了並且他在的每一個環上的邊都要去掉（不去掉環上的其它結點）。這樣找出連通塊最大的最小作為重心。"
定義連通塊的根為當前連通塊中在原圖距離 1 最近的點。
於是我們可以分治 FFT 求出點分中心 x 到 當前連通塊的根 的多項式。
結合點分治，總複雜度為 $O(n\log^3 n)$ ，可能可以通過此題。
——VFleaKing
對於當前點分中心 x ，如果我們先將比 x 靠近連通塊根的那個子仙人掌處理了，那麼，我們會發現我們在這時要算的多項式大部分已經算好了。這裡只需要做的就是合併。可以發現，從 x 追根溯源得到的這些多項式有 $O(\log n)$ 個，而且他們的最高次項指數是和對應的連通塊的 size 相關的，又由於對於這些連通塊，我們做的是點分治，所以這些多項式的最高次項指數是大約 2 倍兩倍增長的。所以現在求點分中心 x 到 當前連通塊的根 的多項式，只需要 $T(n) = T(n/2) + O(n\log n) = O(n\log n)$ 的時間複雜度。
結合點分治，我們可以得到一個 $O(n\log ^2 n)$ 的優秀做法。
當然，底層實現的時候還是有一些細節需要注意，這裡就不展開贅述了(饒了我吧，懶得寫了……)。
由於博主人傻常數大，所以用時差點吃雞了。
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
int Debug=0;
using namespace std;
typedef long long LL;
LL read(){
LL x=0;
char ch=getchar();
while (!isdigit(ch))
ch=getchar();
while (isdigit(ch))
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
return x;
}
const int N=(1<<18)+9,mod=998244353;
int Log[N];
int Pow(int x,int y){
int ans=1;
for (;y;y>>=1,x=(LL)x*x%mod)
if (y&1)
ans=(LL)ans*x%mod;
return ans;
}
void Add(int &x,int y){
if ((x+=y)>=mod)
x-=mod;
}
int del(int x,int y){
return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int rev[N],w[N],A[N],B[N];
void FFT(int a[],int n){
for (int i=0;i<n;i++)
if (rev[i]<i)
swap(a[i],a[rev[i]]);
for (int t=n>>1,d=1;d<n;d<<=1,t>>=1)
for (int i=0;i<n;i+=(d<<1))
for (int j=0;j<d;j++){
int tmp=(LL)w[j*t]*a[i+j+d]%mod;
a[i+j+d]=del(a[i+j],tmp);
Add(a[i+j],tmp);
}
}
vector <int> Mul(vector <int> a,vector <int> b){
static vector <int> ans;
int n=1,d=0;
for (;n<a.size()+b.size();n<<=1,d++);
w[0]=1,w[1]=Pow(3,(mod-1)/n);
for (int i=2;i<n;i++)
w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
for (int i=0;i<n;i++)
rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
for (int i=0;i<n;i++)
A[i]=B[i]=0;
for (int i=0;i<a.size();i++)
A[i]=a[i];
for (int i=0;i<b.size();i++)
B[i]=b[i];
FFT(A,n),FFT(B,n);
for (int i=0;i<n;i++)
A[i]=(LL)A[i]*B[i]%mod;
w[1]=Pow(w[1],mod-2);
for (int i=2;i<n;i++)
w[i]=(LL)w[i-1]*w[1]%mod;
FFT(A,n);
int inv=Pow(n,mod-2);
for (int i=0;i<n;i++)
A[i]=(LL)A[i]*inv%mod;
while (n>0&&!A[n-1])
n--;
ans.clear();
for (int i=0;i<n;i++)
ans.push_back(A[i]);
return ans;
}
struct poly{
vector <int> v;
poly(){}
poly(int x){
v.clear();
while (x>=(int)v.size())
v.push_back(0);
v[x]++;
}
void add_move(poly &p,int x){
int s=max(v.size(),p.v.size()+x);
while (v.size()<s)
v.push_back(0);
for (int i=0;i<p.v.size();i++)
Add(v[i+x],p.v[i]);
}
poly operator << (int x){
poly res=*this;
reverse(res.v.begin(),res.v.end());
while (x--)
res.v.push_back(0);
reverse(res.v.begin(),res.v.end());
return res;
}
void operator += (poly A){
while (v.size()<A.v.size())
v.push_back(0);
for (int i=0;i<A.v.size();i++)
Add(v[i],A.v[i]);
}
void operator *= (poly A){
v=Mul(v,A.v);
}
}C;
poly operator + (poly A,poly B){
C.v.clear();
for (int i=max(A.v.size(),B.v.size());i>0;i--)
C.v.push_back(0);
for (int i=0;i<A.v.size();i++)
Add(C.v[i],A.v[i]);
for (int i=0;i<B.v.size();i++)
Add(C.v[i],B.v[i]);
return C;
}
poly operator * (poly A,poly B){
C.v=Mul(A.v,B.v);
return C;
}
struct Gragh{
static const int M=N*4;
int cnt,y[M],nxt[M],fst[N];
void clear(){
cnt=1;
memset(fst,0,sizeof fst);
}
void add(int a,int b){
y[++cnt]=b,nxt[cnt]=fst[a],fst[a]=cnt;
}
}g;
int n,m,k;
int fa[N];
int dfn[N],low[N],st[N],Time=0,st_top=0,vise[N*2];
vector <int> circle[N],T[N];
void T_add(int a,int b){
T[a].push_back(b);
T[b].push_back(a);
}
void Tarjan(int x){
dfn[x]=low[x]=++Time,st[++st_top]=x;
for (int i=g.fst[x];i;i=g.nxt[i]){
if (vise[i>>1])
continue;
vise[i>>1]=1;
int y=g.y[i];
if (!dfn[y]){
Tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
if (low[y]>dfn[x]){
T_add(x,y);
fa[y]=x;
st_top--;
}
else if (low[y]==dfn[x]){
k++;
T_add(x,k);
circle[k].clear();
circle[k].push_back(x);
while (st[st_top]!=x&&low[st[st_top]]==dfn[x]){
T_add(k,st[st_top]);
circle[k].push_back(st[st_top]);
fa[st[st_top]]=x;
st_top--;
}
}
}
else
low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
}
int fad1[N],fad2[N];
int size[N],fimax[N],semax[N],vis[N],top[N];
int Tfa[N],Tdepth[N];
void dfsT(int x,int pre,int d){
Tfa[x]=pre,Tdepth[x]=d;
for (auto y : T[x])
if (y!=pre)
dfsT(y,x,d+1);
}
int Size,RT;
void get_size(int x,int pre){
size[x]=x<=n?1:0,fimax[x]=semax[x]=0;
for (auto y : T[x])
if (y!=pre&&!vis[y]){
get_size(y,x);
size[x]+=size[y];
if (size[y]>fimax[x])
semax[x]=fimax[x],fimax[x]=size[y];
else if (size[y]>semax[x])
semax[x]=size[y];
}
}
void get_root(int x,int pre){
if (x<=n){
fimax[x]=semax[x]=0;
int f=Tfa[x];
if (!vis[f]){
if (f<=n)
fimax[x]=Size-size[x];
else
fimax[x]=size[x]==fimax[f]?semax[f]:fimax[f];
}
}
else {
if (Size-size[x]>fimax[x])
semax[x]=fimax[x],fimax[x]=Size-size[x];
else if (Size-size[x]>semax[x])
semax[x]=Size-size[x];
}
for (auto y : T[x])
if (y!=pre&&!vis[y]){
if (x<=n)
fimax[x]=max(fimax[x],y<=n?size[y]:fimax[y]);
get_root(y,x);
}
if (x<=n)
if (!RT||fimax[RT]>fimax[x])
RT=x;
}
poly up[N],dn[N],po,potmp;
int d_solve=0;
void solve(int x){
get_size(x,0);
Size=size[x],RT=0;
get_root(x,0);
assert(RT!=0);
vis[x=RT]=++Time;
top[x]=x;
while (!vis[fa[top[x]]])
top[x]=fa[top[x]];
dn[x].v.push_back(0);
Add(dn[x].v[0],1);
for (auto y : T[x])
if (!vis[y])
if (y<=n){
solve(y);
if (Tdepth[y]>Tdepth[x])
dn[x].add_move(dn[y],1);
}
else {
vis[y]=vis[x];
for (auto z : T[y])
if (!vis[z]&&z!=x){
solve(z);
if (Tdepth[z]>Tdepth[y]){
dn[y].add_move(dn[z],fad1[z]);
dn[y].add_move(dn[z],fad2[z]);
}
}
if (Tdepth[y]>Tdepth[x])
dn[x].add_move(dn[y],0);
}
up[x].v.clear();
if (vis[fa[x]]>vis[x]){
int f=fa[x];
po.v.clear();
po=poly(0);
while (f!=top[x]){
if (top[f]==f){
if (Tfa[f]>n){
potmp.v.clear();
potmp=po;
po.v.clear();
po.add_move(potmp,fad1[f]);
po.add_move(potmp,fad2[f]);
}
else
po=po<<1;
f=fa[f];
}
else {
po*=up[f];
f=top[f];
}
}
if (Tfa[x]>n){
top[fa[x]]=top[x];
up[fa[x]]=po;
up[x].add_move(po,fad1[x]);
up[x].add_move(po,fad2[x]);
}
else
up[x].add_move(po,1);
}
else
up[x].v.push_back(1);
if (top[x]!=x)
dn[top[x]]+=dn[x]*up[x];
if (vis[Tfa[x]]>=vis[x]&&Tfa[x]>n)
dn[top[x]]+=dn[Tfa[x]]*up[fa[x]];
}
int main(){
Log[1]=0;
for (int i=2;i<N;i++)
Log[i]=Log[i>>1]+1;
n=k=read(),m=read();
g.clear();
for (int i=1;i<=m;i++){
int a=read(),b=read();
g.add(a,b);
g.add(b,a);
}
Tarjan(1);
for (int i=n+1;i<=k;i++){
int tmp=circle[i].size();
for (int j=1;j<tmp;j++){
fad1[circle[i][j]]=j;
fad2[circle[i][j]]=tmp-j;
}
}
dfsT(1,0,0);
vis[0]=1;
for (int i=1;i<=k;i++)
dn[i].v.clear();
Time=0;
solve(1);
while (dn[1].v.size()<n)
dn[1].v.push_back(0);
for (int i=1;i<n;i++)
printf("%d\n",dn[1].v[i]);
return 0;
}