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特斯拉的信徒 發表於  2011-02-09 13:27

有這個必要嗎？

如果你期待這裡有哥德巴赫猜想的完整證明，我只能說哥們兒你失望了。我說的 1 和 2 可都是純粹的自然數。你開始不屑一顧了吧：1 ＋ 1 ＝ 2 不是顯然的嗎？可是你是否考慮過，以前學幾何的時候，我們總是從一些公理開始，逐漸推出需要的結論。然而，代數的學習卻不是這樣。我們有的是加法表和乘法表，而這些表早已成為計算的直覺刻在腦子裡。一個靠直覺構建起來的體系似乎不太讓人覺得可信。如果連 1 + 1 = 2 這樣簡單的算式都無法證明，那麼所有經由此類運算得到的結果都是不可信的，至少是不科學的。看來，我們需要挖掘一些比 1 + 1 = 2 更基本的東西。

什麼是 1，什麼是 2？

在證明之前，首先我們要明白什麼是自然數，什麼是加法。類似於幾何的公理化理論體系，我們需要提出幾個公理，然後據此定義自然數，進而定義加法。

先來定義自然數。根據自然數的意義（也就是人類平時數數時對自然數的運用方法），它應該是從一個數開始，一直往上數，而且想數幾個就可以數幾個（也就是自然數有無限個）。據此我們得到以下公理：

公理 1. 0 是一個自然數。
公理 2. 如果 n 是自然數，則 S(n) 也是自然數。

在這裡， S(n) 就代表 n 的“後繼”，也就是 n 往上再數一個。沒錯，我們平時所說的 0, 1, 2, 3, ⋯⋯，無非就是表示上述這種叫做“自然數”的數學物件的符號而已。我們用符號“0”來表示最初的那個自然數，用“1”來表示 0 的後繼 S(0)，而 1 的後繼 S(1) 則用符號“2”來表示，等等。

可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1, 2, 3 構成的數字系統，其中 S(3) = 0（即 3 的後一個數變回 0）。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：

公理 3. 0 不是任何一個數的後繼。

但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中 S(3) = 3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條：

公理 4. 若 n 與 m 均為自然數且 n ≠ m，則 S(n) ≠ S(m)。

也就是說，互不相同的兩個自然數，它們各自的後繼也是兩個不同的數。這樣一來，上面說到的反例就可以排除了，因為 3 不可能既是 2 的後繼，也是 3 的後繼。

最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.5），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。

公理 5. （數學歸納法）設 P(n) 為關於自然數 n 的一個性質。如果 P(0) 正確，
且假設 P(n) 正確，則 P(S(n)) 亦真實。那麼 P(n) 對一切自然數 n 都正確。

有了這以上的努力，我們就可以這樣定義自然數繫了：存在一個自然數系 N，稱其元素為自然數，當且僅當這些元素滿足公理 1 - 5。

什麼是加法？

我們定義，加法是滿足以下兩種規則的運算：

1. 對於任意自然數 m，0 + m = m；
2. 對於任意自然數 m 和 n，S(n) + m = S(n + m)。

有了這兩條僅依賴於“後繼”關係的加法定義，任意兩個自然數相加的結果都能確定出來了。

如何證明一加一等於二？

至此，我們可以證明 1 + 1 = 2 了：

   1 + 1
= S(0) + 1  （根據自然數的公理）
= S(0 + 1)  （根據加法定義 2）
= S(1)      （根據加法定義 1）
= 2         （根據自然數的公理）

事實上，根據加法的定義，我們不但可以證明每一個加法等式，還可以進一步證明自然數的加法結合律和交換率等一般規律。類似於加法的定義，還可以定義自然數的乘法並據此證明乘法的結合律、交換率和分配率等。如果大家對這方面問題感興趣的話，可以看看參考文獻[1].

看到這裡，不知道你會不會有一種如釋重負的感覺。原來，我們所知道的關於數學的一切，關於人類認識世界的一切，都不是建立在直覺之上，而是在接受幾個公理的條件下通過理性的方法推匯出來的。同時或許你還會有一種自由的感覺：正如你可以不接受歐幾里得的公理而構造自己的幾何體系一樣，你也可以不接受上面的幾個公理而建立自己的一套關於數的體系。你可以建立無數種奇奇怪怪的體系。不過如果是為了解釋自然的話，至少從目前的角度看，現有的這套還是更好一些。

一些歷史背景

上面所說的公理 1 - 5 便是著名的皮亞諾公理，它是義大利數學家皮亞諾在 1889 年發表的。雖然描述這套公理體系的數學語言發生過不少變化，但這套體系本身一直延用至今。根據這個建立在公理基礎之上的自然數體系，通過引入減法可以得到整數系，再引入除法得到有理數體系。隨後，通過計算有理數序列的極限（由數學家康託提出）或者對有理數系進行分割（由戴德金提出）得到實數系 [2]。這一套公理化實數體系連同同時期魏爾斯特拉斯在微積分分析化過程中的貢獻（例如極限定義中的 ε-δ 語言）一道，使得早已被人類應用兩百多年的微積分學能建立在一個堅實的基礎上 [3]。

參考文獻 [1] Analysis [M]. Terence Tao [2] 數學史概論（第二版）[M]. 李文林 [3] A History of Mathematics, an Introduction (Second Edition) [M]. Victor J. Katz  

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