牛客-字典序 解題報告 【樹】

題目描述

  牛客OJ連結：字典序
  給定整數n和m, 將1到n的這n個整數按字典序排列之後, 求其中的第m個數。
  對於n=11, m=4, 按字典序排列依次為1, 10, 11, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 因此第4個數是2.
  對於n=200, m=25, 按字典序排列依次為1 10 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 11 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 12 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 13 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 14 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 15 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 16 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 17 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 18 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 19 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 2 20 200 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 因此第25個數是120…

輸入描述:

輸入僅包含兩個整數n和m。

資料範圍:
對於20%的資料, 1 <= m <= n <= 5 ;
對於80%的資料, 1 <= m <= n <= 10^7 ;
對於100%的資料, 1 <= m <= n <= 10^18.

輸出描述:

輸出僅包括一行, 即所求排列中的第m個數字。

示例

輸入
11 4
輸出
2

思路

  一開始看到上述陣列序列，似乎給不出對應的通式表達。由於題目是字典序，聯想到字典樹表示，如圖1所示，由於數字字母從0到9，所以就是一個10叉樹。這道題結點的索引值與結點所存的值相同，所以可以不用花空間建樹，直接用索引值代替：比如根節點為 $r$

圖1 10叉樹

先序遍歷

  要取得字典序的第M個數，則先序遍歷到第M個數則停止遍歷。
  但是N的值可能是 $10^{18}$ 級別的，直接先序遍歷會超時。
  先序遍歷是先根，再第一個子樹，再第二個子樹，……，再最後一個子樹。要遍歷M個結點，如果知道一個子樹的節點數小於M，則可以不遍歷這個子樹，直接從下個子樹開始。每次要計算一根樹的總結點個數，時間複雜度為樹的高度 $O(log_{10}N)$ ，但能跳過的結點個數是 $10^h$ 指數級別的。

#include <stdio.h>

typedef long long int LL;

LL N = 0, M = 0;

LL GetNumberOfNode(LL root)
{
	LL num = 0, dep = 1;

	while (root <= N)
	{
		if (root + dep - 1 <= N)
		{
			num += dep;
			dep *= 10;
			root *= 10;
		}
		else
		{
			num += N - root + 1;
			break;
		}
	}

	return num;
}

LL NUM = 0;
void DFS(LL root)
{
	LL numofnode;
	for (int i = 0; i < 10 && M > 0; i++)
	{
		numofnode = GetNumberOfNode(root + i);
		if (M > numofnode)
		{
			M -= numofnode;
			continue;
		}

		M--;
		if (M == 0)
		{
			NUM = root + i;
			return;
		}

		DFS(10*(root+i));
	}
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld", &N, &M);

	LL numofnode;
	for (int i = 1; i < 10 && M > 0; i++)
	{
		numofnode = GetNumberOfNode(i);
		if (M > numofnode)
		{
			M -= numofnode;
			continue;
		}

		M--;
		if (M == 0)
		{
			NUM = i;
			break;
		}

		DFS(10*i);
	}

	printf("%lld\n", NUM);

	return 0;
}