分組的揹包問題（揹包九講）

阿新 • • 發佈：2018-12-24

問題：

有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。這些物品被劃分為若干組，每組中的物品互相沖突，最多選一件。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

演算法：

這個問題變成了每組物品有若干種策略：是選擇本組的某一件，還是一件都不選。也就是說設f[k][v]表示前k組物品花費費用v能取得的最大權值，則有：f[k][v]=max{f[k-1][v],f[k-1][v-c[i]]+w[i]|物品i屬於組k}。使用一維陣列的虛擬碼如下：

for 所有的組k
    for v=V..0
        for 所有的i屬於組k
            f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

注意這裡的三層迴圈的順序，甚至在本文的第一個beta版中我自己都寫錯了。“for v=V..0”這一層迴圈必須在“for 所有的i屬於組k”之外。這樣才能保證每一組內的物品最多隻有一個會被新增到揹包中。另外，顯然可以對每組內的物品應用P02中“一個簡單有效的優化”。
小結：

分組的揹包問題將彼此互斥的若干物品稱為一個組，這建立了一個很好的模型。不少揹包問題的變形都可以轉化為分組的揹包問題（例如P07），由分組的揹包問題進一步可定義“泛化物品”的概念，十分有利於解題。

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總結：