淺談最短路之——迪傑斯特拉(Dijkstar)演算法
阿新 • • 發佈:2018-12-24
迪傑斯特拉演算法複雜度為O(n^2),加入堆優化後可以優化到O((m+n)logn)的級別。主要適用於解決不含負邊權的單源最短路。其基本思想是:記S為已找到源點的最短路的點的集合,V為不在集合S中的點的集合,用dis陣列記錄i到源點的最短路徑長度,每次取V中w值最小的v加入S,更新dis的值,重複上述步驟直到所有點都在S中,這樣dis[t]即為最短路徑長度。
而我們發現,如果邊數不足n^2,我們可以用堆來優化這個過程,每次取出最短路時並不需要遍歷一遍V,只需彈出堆頂元素即可,因為c++預設堆為大根堆,所以只需在壓入時將dis取負即可;每次調整的複雜度為O(elogn),e為該點連的邊數所以最後的複雜度就降到了O((m+n)logn)。
接下來給一段圖示:
對於這個圖,我們要求找出1-7的最短路徑長度。
第一步:源點1在集合S中,dis[1]=0,找到w最小的邊,連向4,dis[4]更新為5,4進入集合S,找到3,dis[3]更新為5+2=7,3進入集合S,找到2,dis[2]更新為7+3=10,2進入集合S,發現dis[2]+w[1,2]>dis[1],且2沒有其他邊了,退回到3,找到下一條邊5,dis[5]=7+4=11,最後找到dis[7]=11+1=12。然後退回到4,找到第二小的邊連向6,dis[6]更新為5+4=9,然後無法更新dis[1],退回。
第二步:源點1找到第二小邊,連向2,dis[2]更新為6,然後發現2無法更新任何dis,返回。
第三步:源點1找到下一條邊,連向6,dis[6]更新為8,然後無法繼續更新dis,返回,1已經沒有其他邊了,演算法結束。
下面貼一段堆優化的迪傑斯特拉演算法程式碼:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #include<queue> using namespace std; int Read() { int i=0,f=1; char c; for(c=getchar();(c<'0'||c>'9')&&c!='-';c=getchar()); if(c=='-') { f=-1,c=getchar(); } for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) i=(i<<3)+(i<<1)+c-'0'; return i*f; } const int N=1e4+5,M=2e5+5,INF=0x3f3f3f3f; int n,m,tot,st; int dis[N]; int first[N],next[M],to[M],w[M]; priority_queue<pair<int,int> >q; void add(int x,int y,int z) { tot++; next[tot]=first[x]; first[x]=tot; to[tot]=y; w[tot]=z; } void dijstrar() { memset(dis,INF,sizeof(dis)); dis[st]=0; q.push(make_pair(0,st)); while(!q.empty()) { int u=q.top().second; q.pop(); for(int e=first[u];e;e=next[e]) { int v=to[e]; if(dis[u]+w[e]<dis[v]) { dis[v]=dis[u]+w[e]; q.push(make_pair(-dis[v],v)); } } } } int main() { int x,y,z; n=Read();m=Read();st=Read(); for(int i=1;i<=m;++i) { x=Read();y=Read();z=Read(); add(x,y,z);add(y,x,z); } dijstrar(); cout<<dis[n]; return 0; }