01揹包問題大二的時候就接觸過了，幾行關鍵程式碼自己也都看過很多遍了，但是很多程式碼一直都沒能理解。所以今天拿表來好好地畫一畫，弄懂其中的動態規劃究竟什麼含義。

1038 : 01揹包

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描述
且說上一週的故事裡，小Hi和小Ho費勁心思終於拿到了茫茫多的獎券！而現在，終於到了小Ho領取獎勵的時刻了！
小Ho現在手上有M張獎券，而獎品區有N件獎品，分別標號為1到N，其中第i件獎品需要need(i)張獎券進行兌換，同時也只能兌換一次，為了使得辛苦得到的獎券不白白浪費，小Ho給每件獎品都評了分，其中第i件獎品的評分值為value(i),表示他對這件獎品的喜好值。現在他想知道，憑藉他手上的這些獎券，可以換到哪些獎品，使得這些獎品的喜好值之和能夠最大。
輸入：

每個測試點（輸入檔案）有且僅有一組測試資料。
每組測試資料的第一行為兩個正整數N和M,表示獎品的個數，以及小Ho手中的獎券數。
接下來的n行描述每一行描述一個獎品，其中第i行為兩個整數need(i)和value(i)，意義如前文所述。
測試資料保證
對於100%的資料，N的值不超過500，M的值不超過10^5
對於100%的資料，need(i)不超過2*10^5, value(i)不超過10^3
輸出：
對於每組測試資料，輸出一個整數Ans，表示小Ho可以獲得的總喜好值。
樣例輸入
5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897
樣例輸出
2099

看了http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810
這篇部落格的01揹包解釋，自己動手畫了畫表格，弄懂了很多， 原博主很厲害，很佩服，講得很清楚，我這裡班門弄斧了，只是自己想把其中一些細節寫一些，好讓自己好好思考思考。注意本表格是從上至下、從左至右畫出來的。
假設，有a、b、c、d、e五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重為10的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？
首先，我們建立一個這樣的表：

假設單元格設為best，那麼比方說best[c][5]是第四行第八列，其含義是當前包的承重為5時，在能選a、b、c物品的前提下，包中物品的最大價值。

所以理解了這個含義之後，先填第一行表，就很容易了。如表2。

第二行其他的空沒什麼好說的，能裝下兩個肯定要儘量裝下兩個，裝不下兩個的挑最值錢的。有意思一個的地方在於best[b][2]，此時它即能裝a也能裝b(……)，那這樣的話，裝什麼呢，你不服我不服，比一下吧，怎麼比？

注意站在此時的角度的話
best[b][2]=best[a][2]代表著不裝b的選項。
best[b][2]=best[a][0]+value(b)代表著裝b(best[a][0]由其含義可知自然等於0)，為什麼？因為你要裝b的話自然要在之前留有b的重量的空間啊，就是2啊，這要扣除，才能加上value(b)。所以best[a][0]相當於打了一個提前量，為後面裝b留足空間。這就是我所理解的01揹包問題其表示式的含義。

第三行與此同理，想裝c的話，自然要在b那裡留有c的重量空間，又因為這時b的每一個空格都是最優選項了，所以這麼一比較肯定也是當前的最優值。

這樣從上到下，從左至右就能填出此表。此時最優解根據單元格的含義可知，是best[e][10]。

所以根據表格總結規律，可以得到表示式
best[i][j]=max(best[i-1][j-need[i]]+value[i],best[i-1][j])
上程式碼：

#include <iostream>
using namespace std;

int value[505];
int need[505];

int best[505][100005]={0};

int main()
{
    int total_num,total_weight,count;
    cin>>total_num>>total_weight;

    for(count=1;count<=total_num;count++)
    {
        cin>>need[count]>>value[count];
    }

    int i,j;
    for(i=1;i<=total_num;i++)
    {
        for(j=0;j<=total_weight;j++)
        {
            if(j<need[i])
                best[i][j]=best[i-1][j];
            else
                best[i][j]=max(best[i-1][j],best[i-1][j-need[i]]+value[i]);
        }
    }
    cout<<best[total_num][total_weight];

    return 0;
}

最後是空間問題：
注意到，在算best[c]這一行的空格時，只有best[b]有用了，best[a]此時已經沒有用了。而在算best[d]這一行時，又是隻有best[c]有用了，best[b]又沒用了。
可見，在整個程式過程中，一直在使用的是兩個total_num大的陣列而已，而不需要開闢之前那麼多的空間了。

#include <iostream>
using namespace std;

int value[505];
int need[505];

int best1[200005]={0};
int best2[200005]={0};

int main()
{
    int total_num,total_weight,count;
    cin>>total_num>>total_weight;

    for(count=1;count<=total_num;count++)
    {
        cin>>need[count]>>value[count];
    }

    int i,j;
    for(i=1;i<=total_num;i++)
    {
        for(j=0;j<=total_weight;j++)
        {
            if(i%2==0)
            {
                if(j<need[i])
                    best1[j]=best2[j];
                else
                    best1[j]=max(best2[j],best2[j-need[i]]+value[i]);
            }
            else
            {
                if(j<need[i])
                    best2[j]=best1[j];
                else
                    best2[j]=max(best1[j],best1[j-need[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    cout<<max(best1[total_weight],best2[total_weight]);

    return 0;

再優化一下空間，
填表格的時候是從左至右的，填右面的只會用到左面的表格，所以其實一個total_num大的陣列就足夠了。

#include <iostream>
using namespace std;

int value[505];
int need[505];

int best1[200005]={0};

int main()
{
    int total_num,total_weight,count;
    cin>>total_num>>total_weight;

    for(count=1;count<=total_num;count++)
    {
        cin>>need[count]>>value[count];
    }

    int i,j;
    for(i=1;i<=total_num;i++)
    {
        for(j=total_weight;j>=need[i];j--)
        {
            best1[j]=max(best1[j],best1[j-need[i]]+value[i]);
        }
    }
    cout<<best1[total_weight];
    return 0;
}