「LibreOJ β Round #7」匹配字串

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題目描述

          對於一個 01 串（即由字元 0 和 1 組成的字串）sss，我們稱 sss 合法，當且僅當串 sss 的

          任意一個長度為 mmm 的子串 s′s's′，不為全 1 串。

          請求出所有長度為 nnn 的 01 串中，有多少合法的串，答案對 655376553765537 取模。

輸入格式

輸入共一行，包含兩個正整數 n,mn,mn,m。

輸出格式

輸出共一行，表示所求的和對 655376553765537 取模的結果。

樣例

樣例輸入 1

5 2

樣例輸出 1

13

樣例解釋 1

以下是所有合法的串：

00000
00001
00010
00100
00101
01000
01001
01010
10000
10001
10010
10100
10101

樣例輸入 2

2018 7

樣例輸出 2

27940

資料範圍與提示

對於所有的資料，滿足 1≤n,m≤687215739041\le n,m\le 687215739041≤n,m≤68721573904。

詳細的資料限制及約定如下（留空表示和上述所有資料的約定相同）：

題目連結：http://118.24.30.237/problem.php?id=2991   

                   https://loj.ac/problem/547

AC 程式碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long  ll;
#define  mod 65537
ll m,n;
ll f[6005],g[6005],tp[6005];
void mul(ll *a,ll *b)
{
	for(int i=0;i<=2*m;i++) tp[i]=0;
	for(int i=0;i<m;i++)
    for(int j=0;j<m;j++)
	 tp[i+j]=(tp[i+j]+a[i]*b[j])%mod;
	for(int i=2*m-2;i>=m;i--)
	{
		for(int j=0;j<m;j++)
			tp[i-m+j]=(tp[i-m+j]+tp[i])%mod;
		tp[i]=0;
	}
	for(int i=0;i<m;i++) a[i]=tp[i];
}
void ksm1()
{
	while(n)
	{
		if(n&1)mul(g,f);
		mul(f,f);
		n>>=1;
	}
}
void f1()
{
	f[1]=1; g[0]=1;
	ksm1();
	ll s=1,ans=0;
	for(int i=0;i<m;i++) ans=(ans+s*g[i])%mod,s=s*2%mod;
	printf("%lld\n",(ans%mod+mod)%mod);
}
ll fac[65538],inv[65538];

ll C(ll n,ll m)
{
	if(m>n) return 0;
	if(n>=mod) return C(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
	else return fac[n]*inv[m]*inv[n-m]%mod;
}
ll ksm2(ll x,ll k)
{
	ll s=1;
	while(k)
	{
		if(k&1) s=s*x%mod;
		x=x*x%mod;
		k>>=1;
	}
	return s;
}
ll calc(ll n1)
{
	ll ans=0,pw2=ksm2(2,n1),iv=ksm2(ksm2(2,m+1),mod-2);
	int lim=n1/(m+1);
	for(int i=0;i<=lim;++i)
	{
		if(i&1) ans-=pw2*C(n1-i*m,i);
		else ans+=pw2*C(n1-i*m,i);
		pw2=pw2*iv%mod;
	}
	return (ans%mod+mod)%mod;
}
void f2()
{
	fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<mod;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[mod-1]=ksm2(fac[mod-1],mod-2);
	for(int i=mod-2;i>=1;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	printf("%lld\n",(calc(n+1)-calc(n)+mod)%mod);
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	if(m<=3000) f1();
	else f2();
	return 0;
}