今天遇到一個問題：在一個n階完全圖的所有生成樹的數量為n的n-2次方，想了好久也沒有想出來，還是在網上找到的。。。
簡單點說就是：
一一對應法：
假定T是其中一棵樹，樹葉中有標號最小者，設為a1，a1的鄰接點為b1，從圖中消去a1點
和邊(a1, b1).b1點便成為消去後餘下的樹T1的頂點.在餘下的樹T1中尋找標號最小的樹葉，設
為a2，a2的鄰接點為b2，從T1中消去a2及邊(a2, b2).如此步驟繼續n-2次，直到最後剩下一條
邊為止.於是一棵樹T對應一序列
b1,b2,…,b[n-2]
恢復樹T：
序列I 1,2,…n
序列II b1,b2,…,b[n-2]
在I中找出第一個不出現在II中數，顯然是a1，連線邊(a1, b1)，在I中消去a1，在II中消
去b1.如此步驟重複n-2次，序列I中兩個數，構成最後一條邊.

以下是來自Matirx67的blog.

ayley公式是說，一個完全圖K_n有n^(n-2)棵生成樹，換句話說n個節點的帶標號的無根樹有n^(n-2)個。Cayley公式的一個非常簡單的證明，證明依賴於Prüfer編碼，它是對帶標號無根樹的一種編碼方式。
給定一棵帶標號的無根樹，找出編號最小的葉子節點，寫下與它相鄰的節點的編號，然後刪掉這個葉子節點。反覆執行這個操作直到只剩兩個節點為止。由於節點數n>2的樹總存在葉子節點，因此一棵n個節點的無根樹唯一地對應了一個長度為n-2的數列，數列中的每個數都在1到n的範圍內。下面我們只需要說明，任何一個長為n-2、取值範圍在1到n之間的數列都唯一地對應了一棵n個節點的無根樹，這樣我們的帶標號無根樹就和Prüfer編碼之間形成一一對應的關係，Cayley公式便不證自明瞭。
看到這，我建議自己劃一劃，結果就出來了（這句話是我的建議，非Matrix67原文）。
注意到，如果一個節點A不是葉子節點，那麼它至少有兩條邊；但在上述過程結束後，整個圖只剩下一條邊，因此節點A的至少一個相鄰節點被去掉過，節點A的編號將會在這棵樹對應的Prüfer編碼中出現。反過來，在Prüfer編碼中出現過的數字顯然不可能是這棵樹（初始時）的葉子。於是我們看到，沒有在Prüfer編碼中出現過的數字恰好就是這棵樹（初始時）的葉子節點。找出沒有出現過的數字中最小的那一個（比如④），它就是與Prüfer編碼中第一個數所標識的節點（比如③）相鄰的葉子。接下來，我們遞迴地考慮後面n-3位編碼（別忘了編碼總長是n-2）：找出除④以外不在後n-3位編碼中的最小的數（左圖的例子中是⑦），將它連線到整個編碼的第2個數所對應的節點上（例子中還是③）。再接下來，找出除④和⑦以外後n-4位編碼中最小的不被包含的數，做同樣的處理……依次把③⑧②⑤⑥與編碼中第3、4、5、6、7位所表示的節點相連。最後，我們還有①和⑨沒處理過，直接把它們倆連線起來就行了。由於沒處理過的節點數總比剩下的編碼長度大2，因此我們總能找到一個最小的沒在剩餘編碼中出現的數，演算法總能進行下去。這樣，任何一個Prüfer編碼都唯一地對應了一棵無根樹，有多少個n-2位的Prüfer編碼就有多少個帶標號的無根樹。

一個有趣的推廣是，n個節點的度依次為D1, D2, …, Dn的無根樹共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]個，因為此時Prüfer編碼中的數字i恰好出現Di-1次。