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最近因為工作的關係需要使用matlab作為資料統計的工具，其中一個關鍵是使用其自相關函式獲得資料的估計。自己只在本科時候馬馬虎虎地學習了一點matlab，這次仗著有C/C++的基礎迅速地過了一遍自己需要的matlab的語法，原來這門語言很像指令碼啊，同Python一樣都是弱型別的，語法也不嚴格。瞭解了語法大概後，立刻在Help?文件中查詢xcorr函式，其介紹如下：

     看上去語法也不難，直接運算不就好了麼？可是運算出來的結果自己卻搞不懂，因為自己沒有多少統計的知識，於是又去巴拉數學的材料，想去搞明白xcorr函式的原理或公式。最後還是去matlab論壇找到了自己想找的答案，這裡就來分析下matlab的互相關函式xcorr。
     matlab中的引數都是以陣列的形式儲存的，標量可以看作是一維陣列。我們採用序列x = [1, 3, 5]作為實驗物件，經過xcorr()函式運算，分析結果：
1. xcorr()

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1. >> x = [1 3 5]
   
2. x =
   
3.      1 3 5
   
4. >> [a,b] = xcorr(x)
   
5. a =
   
6.      5 18 35 18 5
   
7. b =
   
8.     -2 -1 0 1 2
   
9. >>

      也許你對這個結果感到困惑，不急，待我慢慢道來。計算時先進行b的計算，用序列x中的元素的序號互相做減法，可以得到的所有值的可能集合，按照從小到大順序排列後就得到了b；然後分別根據序號的“差”的情況計算序列a：
     當b(1)=-2時，只有資料(1, 5)作差可以得到，即序號1和序號3的差，因此計算a(1)=1*5=5；
     當b(2)=-1時，涉及到了序號對應的(3, 1)和序號(5, 3)，所以計算a(2)=3*1+5*3=18;
     當b(3)=0時，涉及到了序號對應的(1, 1), (3, 3)和(5, 5)，因此計算a(3)=1*1+3*3+5*5=35;
     當b(4)=1時，涉及到了序號對應的(3, 1)和(5, 3)，計算a(4)=3*1+5*3=18;
     當b(5)=2時，涉及到了序號對應的(5, 1)（後面的資料的序號減去前面資料的序號正好為2），計算a(5)=5*1=5

2. xcorr(x, 'unbiased')
     引數'unbiased'的作用在於基於預設引數時的計算結果，每個組的計算再除上該組的序號組數，比如b(1)時組數為1，記為N=1，則a(1)=1*5/N=5；b(2)時就是a(2)=18/N=18/2=9;類似等等；

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'unbiased')
   
2. a =
   
3.     5.0000 9.0000 11.6667 9.0000 5.0000
   
4. b =
   
5.     -2 -1 0 1 2
   
6. >>

3. xcorr(x, 'biased')
     引數'biased'的作用在於預設引數的基礎上除以序列x的長度，即a(1)=5/3；比如：

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'biased')
   
2. a =
   
3.     1.6667 6.0000 11.6667 6.0000 1.6667
   
4. b =
   
5.     -2 -1 0 1 2
   
6. >>

4. xcorr(x, 'coeff')
     此時用於求序列x的自相關序列，其結果是針對'biased'的情況進行歸一化，使得b=0時即中間的值a(3)=1，因此a(1)=5/11.6667，所有的分組資料在'biased'基礎上都通過11.6667歸一運算：

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1. >> [a, b] = xcorr(x, 'coeff')
   
2. a =
   
3.     0.1429 0.5143 1.0000 0.5143 0.1429
   
4. b =
   
5.     -2 -1 0 1 2
   
6. >>

      由於xcorr多用於工程上針對時間訊號取樣，但是計算時將採集到的資料一起送給matlab，因此matlab本身並不知道時間間隔，我們可以使用dt=0.1, t=b*dt，plot(t, a)進行作圖，前半部分是超前，後半部分是滯後，如：