靜電場中的導體和電介質

靜電場中的導體

靜電感應：當導體受到外電場作用時，不論原導體是否帶電，導體中的自由電子在外電場的作用下，將相對於晶體點陣作巨集觀運動，引起導體上的電荷重新分佈

導體靜電平衡導體表面和內部都沒有電荷作定向運動

導體的靜電平衡

靜電平衡的條件

電場角度

1. 導體內部任意點的場強為0.
   此處所說的場強為外加電場和內部感應電荷產生的附加電場疊加的總場強
   \[ \vec E=\vec E_外+\vec E_感=0\]
   解釋：若\(\vec E\)不為0，則自由電荷將繼續作定向移動，不符合靜電平衡定義

2. 導體表面附近的場強方向處處與表面垂直
   解釋：若表面場強有與導體表面平行的分量，則表面的自由電荷將因之移動，則不滿足靜電平衡的定義

   電勢角度

   1.整個導體是等勢體；
   2.導體表面是等勢面。
   由整個導體內部的電場強度為0易證；

   處於靜電平衡的導體的性質

3. 導體是等勢體，導體表面是等勢面。
4. 導體內部處處沒有未被抵消的淨電荷，淨電荷只出現在導體的表面上

5. 導體以外，靠近導體表面的場強大小隻與此處的面電荷密度有關，\(E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\)

說明:
對於2：
據\[\oint_s \vec E \cdot d\vec S=\frac{\int_v\rho_edV}{\varepsilon_0}\]由於內部電場強度為0，因此，內部電荷密度也為0

導體表面上的電荷分佈

導體表面的電荷分佈情況由導體的形狀和周圍的其他帶電體共同決定。
而靜電場中的孤立導體其面電荷密度只與該處表面的斜率有關，其中越尖銳突出的部分，電荷面密度越大，反之則越小。即：
\[\sigma \propto \frac{1}{R}\]

導體殼和靜電遮蔽

導體空腔內無帶電體的情況

腔體內表面不帶電量，腔體外表面所帶的電量為帶電體所帶的總電量。導體上電荷面密度的大小與該處表面的斜率有關。

空腔內有帶電體

腔體內表面多帶電量和腔內帶電體所帶的電量等量異號，腔體外表面所帶的電量由電荷守恆定律決定

靜電遮蔽

封閉導體殼（不論接地與否）內部的電場不受外電場的影響；
封閉的接地導體殼外部的電場不受殼內電荷的影響

有導體存在時場強和電勢的計算

已知：導體板A，面積為S、帶電量Q，在其旁邊放入導體板B。
求：
(1)A、B上的電荷分佈及空間的電場分佈
(2)將B板接地，求電荷分佈
a點 \({\sigma_1\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_2\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_3\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_4\over 2\varepsilon_0}=0\)
b點\({\sigma_1\over 2\varepsilon_0}+{\sigma_2\over 2\varepsilon_0}+{\sigma_3\over 2\varepsilon_0}-{\sigma_4\over 2\varepsilon_0}=0\)
A板\(\sigma_1s+\sigma_2s=Q\)
B板\(\sigma_3s+\sigma_4s=0\)
\(\sigma_1=\sigma_2=\sigma_4={Q\over 2S}\)
\(\sigma_3=-{Q\over 2S}\)

問：已知\(R_1,R_2,R_3,q,Q\)
（1）電荷及場強分佈；球心的電勢及空間的電勢分佈；
（2）如用導線連線A、B，再作計算
解：（1）由高斯定理得\[E=\begin{cases}0&r<R_1||R_2<r<R_3\\{q\over 4\pi\varepsilon_0 r^2}&R_1<r<R_2\\ {Q+q\over4\pi\varepsilon_0r^2} &r>R3\end{cases}\]
再對各區域求積分即可
（2）導體連線後只有外球殼的外表面帶電
\[E=\begin{cases}0&r<R_3\\{Q+q\over 4\pi\varepsilon_0r^2}&r>R_3\end{cases}\]
同理，積分可得電勢強度

問： 點電荷 Q 放在半徑為 R1, R2 的兩同心導體球殼之間,且兩球殼都接地。則兩球殼是否帶電？求兩球殼上的感應電荷各是多少?
解：令內球殼帶電量為q_1,外球殼帶電量為q_2則據高斯定理可得（1）式：
\(\oint_s\vec E\cdot d\vec S={q_1+q_2+q_3\over \varepsilon_0}=0\)也即\(q_1+q_2+Q=0\)
又有因為內球殼接地，因此，球心電勢為0，據此得到二式子:
\(U={1\over4\pi\varepsilon_0}(\frac{Q}{r}+\frac{q_1}{R_1}+\frac{q_2}{R_2})=0\)
據此解得：
\(q_1=-{QR_1(R_2-r)\over(R_2-R_1)}\) \(q_2=-{QR_2(r-R_1)\over(R_2-R_1)}\)

靜電場中的電介質

電介質

無極分子：分子正負電荷中心重合
有極分子：分子正負電荷中心不重合

\[\vec M=\vec {p_e}\times \vec E_{外}\]
\(\vec p_e\)轉向外電場兩端面出現極化電荷面

電極化強度和極化電荷

電極化強度（向量）

\[\vec P={\sum{\vec p_i} \over \Delta V}\]

極化電荷和極化強度的關係

(1)均勻介質極化時，其表面上某點的極化電荷面密度等於該處電極化強度在外法線上的分量
\[\sigma'=P_n\]
(2)在電場中，穿過任意閉合曲面的極化強度通量等於該閉合面內極化電荷總量的負值
\[\oint_s\vec P\cdot d\vec S=-\sum_sq_i'\]

電介質中的電場

據實驗總結我們有結論：\(\vec P=\varepsilon_0\chi\vec E\)
令\(\varepsilon_r=1+\chi\)
則有\(E={E_0\over \varepsilon_r}\)

電介質中的高斯定理

據\[\begin{cases}\oint_s\vec E \cdot d\vec S={\sum q_i \over \varepsilon_0}\\\oint_s\vec P\cdot d\vec S=-\sum_sq_i'\end{cases}\]
可得：
\(\oint_s(\varepsilon_0\vec E +\vec P)d\vec S=\sum q\)
我們令其中的\(\varepsilon_0\vec E+\vec P=\vec D=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec E=\varepsilon E\),其中\[\vec D=\varepsilon E\]即為電位移向量
據此我們可以得出介質中的高斯定理
\[\oint_S\vec D\cdot d\vec S=\sum q\]

電容與電容器

電容：使導體升高單位電勢所需的電量

孤立導體的電容

孤立導體：附近沒有其他導體和帶電體

孤立導體的電容取決於導體的幾何形狀以及周圍的電介質。
其中孤立球體的電容就為\[C=4\pi\varepsilon R\]

電容的單位：法拉，微法拉，皮法拉
\[1F=10^6\mu F=10^{12}pF\]

電容器及電容

電容器的電容

電容器：導體組合，使之不受周圍導體的影響

電容器的電容：當電容器的兩極板分別帶有等值異號電荷q時，電量q與兩極板間相應的電勢差\(u_A-u_B\)的比值
\[C={q\over u_a-u_b}\]

幾種常見電容器的電容公式：
平行板電容器：\[C={\varepsilon S\over d}\]
同心球型電容器：\[C={4\pi\varepsilon R_AR_B\over R_B-R_A}(R_B>R_A)\]
同軸圓柱型電容器
\[C={2\pi\varepsilon l\over ln(R_B/R_A)}\]

電容器的串並聯

串聯：
\[{1\over C}={1\over C_1}+{1\over C_2}+……\frac{1}{C_n}\]
並聯：
\[C=C_1+C_2+……+C_n\]

電場的能量

電容器儲能

根據\(dA=udq,u=\frac{q}{c}\)
\(A=\int_o^Q\frac{q}{C}dq={Q^2\over2C}\)
因此，電容器的電能即為：
\[W=\frac{Q}{2C}=\frac{1}{2}QU=\frac{1}{2}CU^2\]

電場能量

平行板電容器

據\(W=\frac{1}{2}CU^2=\frac{1}{2}{\frac{\varepsilon S}{d}(Ed)^2}={1\over 2}\varepsilon E^2V\)
得：電場能量密度為：
\[w={W\over V}=\frac{1}{2}\varepsilon E^2\]
據上式：
\[W=\int_VdW=\int_V\frac{1}{2}\varepsilon E^2dv\]