從學了C語言之後，一直習慣於C/C++任意的強制轉化，但是C語言的強制轉化卻總是帶來意想不到的後果，在這裡，我將從int,float,double的本質上講解這些可能出現的問題以及解決辦法，在下面你將看到：

OK，現在好戲開始。

• int
  
  • unsigned int: unsigned int所進行的是模數計算，就是正常的二進位制相加減，計算方法和十進位制加減並無區別，但是unsigned int有著正溢位和負溢位的問題，如下圖計算所示：
    
    這一點是我們需要注意的地方。
  • int:int所使用的是32位補碼，關於補碼的運算，在這裡就不贅述了，大部分計算機導論的書籍都有相關說明。
  • 接下來，要說的就是unsigned int和int的相互轉化，請看如下程式碼：

/* WARNING: This is buggy code */
float sum_elements(float a[],unsigned length)
{
    int i;
    float result=0;

    for(i=0;i<=length-1;i++)
    {
        result+=a[i];
        return result;
    }
}
  

   
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這段程式碼計算一個數組所有元素之和，看起來似乎沒什麼問題。但是當你的陣列為空的時候，length輸入0之後，卻返回一個儲存器錯誤，這是為什麼呢？請看上文關於unsigned int計算的式子，length是unsigned int 型別，進行的是模數運算，只代表正數，如果出先了0000000(這裡有32個0)-00000..01(31個0，1個1)=111…11111(32個1)=UMAX。一個本該為-1的數變成了無符號數最大值，當然，當i取任何不為0的數都發生了非法訪問，自然出現了儲存器錯誤，並且任何數都小於UMAX，就會出現判別式永遠為真，出現死迴圈。解決這個問題的方法有兩種，做一個判斷，當傳入length<1,直接返回0.或者，在之前就將length轉化為int。

• 浮點數（float,double的理解）
  
  • 什麼是定點數，定點數有什麼缺點：
    我們用二進位制數表示整數，我們也想用二進位制表示小數。自然而然，我們會像十進位制的小數一樣，在二進位制上加上小數點，例如1.001111122,
    
    但是這樣的二進位制會出現什麼樣的問題呢？請看下面的二進位制小數

大家觀察一下，二進位制小數有什麼特點。
只能準確的表示x/2kx/2k只能近似，請看下面的小數

[0011]表示無限迴圈小數
為什麼會出現這樣的計算結果，請看下面1/3 和 1/5是如何計算的。

1/5就複雜了點

可見，當小數不能表示為

明顯的看出，float有8位指數位，23位尾數位。指數最大可表示的範圍為-127～126，但浮點數的指數計算有一點技巧要用到：E-Bias。
下面是浮點數所表示的一個範圍：

大家可以清楚的看到浮點數隨著大小的不同被分成好幾種，接近0的被稱為Denormalized，比較大的數字被分為Infinity,接下來介紹這幾種數字的特徵：
Normalized：這是最常見的一種情況，指數位EXP不為0(不小)，EXP不全為1（不大）。此時，階碼（這個2EE-1,k表示指數位的位數，float單精度即32位浮點為127，double雙精度為1023。故float單精度的E範圍為-126~127，對於雙精度為-1022~+1023。
而對於尾數位，即小數位：相當於得到的數為1.M(M表示尾數位)
下面就到了重點了，這也是浮點數經常被大家忽略的地方。
Denormalized:當階數E全為0的時候，被稱為Denormalized，那麼它的指數位就變成了E=1-Bias, 之所以不用-Bias,而用1-Bias,是為了實現與Normalized的數實現完美過渡，具體如何過渡的圖片會在下面給出。
而Denormalized的尾數有什麼特點呢：如果frac為0，說明該數為0，但是不知道是+0還是-0。因為，前面的符號位未知。如果frac不為0的話，那麼實際的數字表示為0.M(M為尾數位)，記住，此時前面是0.，因為只有是0.最終才能接近0
Infinity:當指數位全為1，frac尾數位為0的時候表示Infinity(可以表示無窮大)，分別取符號位為1或者0，表示正無窮或負無窮。可以滿足Infinity相乘或除，表示溢位。
NaN:not a number,即指數位全為1，frac尾數位不全為0.
一張圖可以表示Normailized，Denormalized，Infinity,NaN

這張圖說明，從Denormalized到NaN有什麼變化：

可以看到在Denormalize使用E=1-Bias,並且M前取0，實現了從Largest denorm到Smallest norm完美過渡。
- 浮點數的rounding
上文提到無論是定點數還是浮點數都只能表示有限的位數，那麼舍入就顯的是一個很重要的環節了。浮點數採取的舍入方法，小於一半的向下舍入，大於一半的向上舍入，在中間的，close to even(向偶數舍入)，下面是幾個二進位制例子：
Format A:
There are k=3 exponent bits. The exponent bias is 3.
There are n=4 fraction bits.
Format B:
There are k=4 exponent bits. The exponent bias is 7.
There are n=3 fraction bits.
要求給出A，將A轉化為B
前一半為A，後一半為B

可以看出第二，三，四的問題的關鍵在於進位
三的A為：0.11001，即到B先轉化為1.1001，明顯B的frac只有三位，所有根據close to even,需要接近偶數，所以，round down：1.100,符合。
比較有問題的是最後一個：000 0001 。首先，000說明是Denormalize,則該數表示為0.0001*2−2−2,由於B是4位exp，所以不會是最小的數，所以由Denormalize->Normalize,答案也為1/64
為什麼要選擇，close to even呢？如果全部的數字都為0.01要精確到小數點後一位的話，如果是四捨五入，那麼最後的誤差將是0.01*n，但如果是close to even的，認為偶數和奇數是等概率出現，就很小的避免誤差往一邊倒的情況。

• 浮點數的計算
  首先先來兩個公式
  x+ff）
  但是3.14+（1e10-1e10）=3.14
  le20*(le20-le20)=0.0
  le20*le20-le20*le20=NaN，由於溢位的關係，可見在數字大的情況下不滿足加法結合律和乘法分配律

最後，來看看double,float和int相互轉化可能的問題

判斷以下式子是否正確：

A.正確，因為double的frac為32位和int相同，不會丟失資訊。
B.錯誤，因為float的frac為23位小於int,會丟失資訊。
C.錯誤。double比float精度高。從double轉float會丟失資訊。
D.正確。
E.正確。符號數正負轉化只取決於符號位。
F.正確。浮點數在進行運算的時候會全部轉化為浮點數。
G.正確。

H.錯誤。如果f+d溢位，結果為0.

從學了C語言之後，一直習慣於C/C++任意的強制轉化，但是C語言的強制轉化卻總是帶來意想不到的後果，在這裡，我將從int,float,double的本質上講解這些可能出現的問題以及解決辦法，在下面你將看到：

OK，現在好戲開始。