Given a non-empty array of numbers, a0, a1, a2, … , an-1, where 0 ≤ ai < 231.

Find the maximum result of ai XOR aj, where 0 ≤ i, j < n.

Could you do this in O(n) runtime?

Example:

Input: [3, 10, 5, 25, 2, 8]

Output: 28

Explanation: The maximum result is 5 ^ 25 = 28.

這道題是一道典型的位操作Bit Manipulation的題目，我開始以為異或值最大的兩個數一定包括陣列的最大值，但是OJ給了另一個例子{10,23,20,18,28}，這個陣列的異或最大值是10和20異或，得到30。那麼只能另闢蹊徑，正確的做法是按位遍歷，題目中給定了數字的返回不會超過2³¹

,那麼最多隻能有32位，我們用一個從左往右的mask，用來提取數字的字首，然後將其都存入HashSet中，我們用一個變數t，用來驗證當前位為1再或上之前結果res，看結果和HashSet中的字首異或之後在不在HashSet中，這裡用到了一個性質，若a^b=c，那麼a=b^c，因為t是我們要驗證的當前最大值，所以我們遍歷HashSet中的數時，和t異或後的結果仍在HashSet中，說明兩個字首可以異或出t的值，所以我們更新res為t，繼續遍歷，如果上述講解不容易理解，那麼建議自己帶個例子一步一步試試，並把每次迴圈中HashSet中所有的數字都打印出來，基本應該就能理解了，算了，還是博主帶著大家來看題目中給的例子吧：

3        10        5        25        2        8

11      1010     101     11001     10      1000

我們觀察這些數字最大的為25，其二進位制最高位在 i=4 時為1，那麼我們的迴圈[31, 5]之間是取不到任何數字的，所以不會對結果res有任何影響。

當 i=4 時，我們此時mask為前28位為‘1’的二進位制數，跟除25以外的任何數相‘與’，都會得到0。 然後跟25的二進位制數10101相‘與’，得到二進位制數10000，存入HashSet中，那麼此時HashSet中就有0和16兩個數字。此時我們的t為結果res（此時為0）‘或’上二進位制數10000，得到二進位制數10000。然後我們遍歷HashSet，由於HashSet是無序的，所以我們會取出0和16中的其中一個，如果prefix取出的是0，那麼t=16‘異或’上0，還等於16，而16是在HashSet中存在的，所以此時結果res更新為16，然後break掉遍歷HashSet的迴圈。實際上prefix先取16的話也一樣，那麼t=16‘異或’上16，等於0，而0是在HashSet中存在的，所以此時結果res更新為16，然後break掉遍歷HashSet的迴圈。

3        10        5        25        2        8

11      1010     101     11001     10      1000

當 i=3 時，我們此時mask為前29位為‘1’的二進位制數，如上所示，跟數字3，5，2中任何一個相‘與’，都會得到0。然後跟10的二進位制數1010，或跟8的二進位制數1000相‘與’，都會得到二進位制數1000，即8。跟25的二進位制數11001相‘與’，會得到二進數11000，即24，存入HashSet中，那麼此時HashSet中就有0，8，和24三個數字。此時我們的t為結果res（此時為16）‘或’上二進位制數1000，得到二進位制數11000，即24。此時遍歷HashSet中的數，當prefix取出0，那麼t=24‘異或’上0，還等於24，而24是在HashSet中存在的，所以此時結果res更新為24，然後break掉遍歷HashSet的迴圈。大家可以嘗試其他的數，當prefix取出24，其實也可以更新結果res為24的。但是8就不行啦，因為HashSet中沒有16。不過無所謂了，我們只要有一個能更新結果res就可以了。

3        10        5        25        2        8

11      1010     101     11001     10      1000

當 i=2 時，我們此時mask為前30位為‘1’的二進位制數，如上所示，跟3的二進位制數11相‘與’，會得到二進位制數0，即0。然後跟10的二進位制數1010相‘與’，會得到二進位制數1000，即8。然後跟5的二進位制數101相‘與’，會得到二進位制數100，即4。然後跟25的二進位制數11001相‘與’，會得到二進位制數11000，即24。跟數字2和8相‘與’，分別會得到0和8，跟前面重複了。所以最終HashSet中就有0，4，8，和24這四個數字。此時我們的t為結果res（此時為24）‘或’上二進位制數100，得到二進位制數11100，即28。那麼就要驗證結果res能否取到28。我們遍歷HashSet，當prefix取出0，那麼t=28‘異或’上0，還等於28，但是HashSet中沒有28，所以不行。當prefix取出4，那麼t=28‘異或’上二進位制數100，等於24，在HashSet中存在，Bingo！結果res更新為28。其他的數可以不用試了。

3        10        5        25        2        8

11      1010     101     11001     10      1000

當 i=1 時，我們此時mask為前31位為‘1’的二進位制數，如上所示，每個數與mask相‘與’後，我們HashSet中會有2，4，8，10，24這五個數。此時我們的t為結果res（此時為28）‘或’上二進位制數10，得到二進位制數11110，即30。那麼就要驗證結果res能否取到30。我們遍歷HashSet，當prefix取出2，那麼t=30‘異或’上2，等於28，但是HashSet中沒有28，所以不行。當prefix取出4，那麼t=30‘異或’上4，等於26，但是HashSet中沒有26，所以不行。當prefix取出8，那麼t=30‘異或’上8，等於22，但是HashSet中沒有22，所以不行。當prefix取出10，那麼t=30‘異或’上10，等於20，但是HashSet中沒有20，所以不行。當prefix取出24，那麼t=30‘異或’上24，等於6，但是HashSet中沒有6，所以不行。遍歷完了HashSet所有的數，結果res沒有被更新，還是28。

3        10        5        25        2        8

11      1010     101     11001     10      1000

當 i=0 時，我們此時mask為前32位為‘1’的二進位制數，如上所示，每個數與mask相‘與’後，我們HashSet中會有2，3，5，8，10，25這六個數。此時我們的t為結果res（此時為28）‘或’上二進位制數1，得到二進位制數11101，即29。那麼就要驗證結果res能否取到29。取出HashSet中每一個數字來驗證，跟上面的驗證方法相同，這裡博主偷懶就不寫了，最終可以發現，結果res無法被更新，還是28，所以最終的結果就是28。

綜上所述，我們來分析一下這道題的核心。我們希望用二進位制來拼出結果的數，最終結果28的二進位制數為11100，裡面有三個‘1’，我們來找一下都是誰貢獻了這三個‘1’？在 i=4 時，數字25貢獻了最高位的‘1’，在 i=3 時，數字25貢獻了次高位的‘1’，在 i=2 時，數字5貢獻了第三位的‘1’。而一旦某個數貢獻了‘1’，那麼之後在需要貢獻‘1’的時候，此數就可以再繼續貢獻‘1’。而一旦有兩個數貢獻了‘1’後，那麼之後的‘1’就基本上只跟這兩個數有關了，其他數字有‘1’也貢獻不出來。驗證方法裡使用了前面提到的性質，a ^ b = t，如果t是所求結果話，我們可以先假定一個t，然後驗證，如果a ^ t = b成立，說明該t可以通過a和b‘異或’得到。參見程式碼如下：

class Solution {
public:
    int findMaximumXOR(vector<int>& nums) {
        int res = 0, mask = 0;
        for (int i = 31; i >= 0; --i) {
            mask |= (1 << i);
            unordered_set<int> s;
            for (int num : nums) {
                s.insert(num & mask);
            }
            int t = res | (1 << i);
            for (int prefix : s) {
                if (s.count(t ^ prefix)) {
                    res = t;
                    break;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

參考資料：