Bzoj2818 Gcd(莫比烏斯反演)
阿新 • • 發佈:2018-12-27
題面
題意都在題目裡面了
題解
你可以把題意看成這個東西
$$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\mathbf f(gcd(i,j)) $$
其中$\mathbf f(n)$為$是否是一個質數[n是否是一個質數]$
然後把$\mathbf f$反演一下,找到一個$\mathbf g$令$\mathbf f=\mathbf 1 \ast \mathbf g$,即:
$$ \mathbf g(n)=\sum_{d\mid n}\mu(\frac nd)\cdot \mathbf f(d)=\sum_{d\mid n, d \in prime}\mu (\frac nd) $$
所以$\mathbf g$可以這樣求:
for(int j = 1; j <= cnt; ++j)
for(int i = 1; i * prime[j] <= n; ++i)
g[i * prime[j]] += mu[i];
就是列舉係數。
接著考慮怎麼做:
由於$gcd$有一個很好的性質:
$d\mid gcd(i,j) \Leftrightarrow d\mid i, d\mid j$
所以
$$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d\mid i,d\mid j}\mathbf g(d) \\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mathbf g(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[d\mid i][d\mid j] \\ =\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mathbf g(d) \lfloor\frac nd \rfloor\lfloor\frac md\rfloor $$
然後就可以整除分塊了!!
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> using std::min; using std::max; using std::swap; using std::sort; typedef long long ll; template<typename T> void read(T &x) { int flag = 1; x = 0; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') flag = -flag; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); x *= flag; } const int N = 1e7 + 10; int t, n, m, mu[N], g[N], prime[N], cnt; long long sum[N], ans; bool notprime[N]; void getmu(int k) { mu[1] = 1; for(int i = 2; i <= k; ++i) { if(!notprime[i]) prime[++cnt] = i, mu[i] = -1; for(int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= k; ++j) { notprime[prime[j] * i] = true; if(!(i % prime[j])) break; mu[prime[j] * i] = -mu[i]; } } for(int j = 1; j <= cnt; ++j) for(int i = 1; i * prime[j] <= k; ++i) g[i * prime[j]] += mu[i]; for(int i = 1; i <= k; ++i) sum[i] = sum[i - 1] + 1ll * g[i]; } int main () { read(n), getmu(n); for(int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) { r = n / (n / l); ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (n / l) * (n / l); } printf("%lld\n", ans); return 0; }