[LeetCode] Unique Binary Search Trees 獨一無二的二叉搜尋樹
阿新 • • 發佈:2018-12-27
Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3
這道題實際上是 Catalan Number卡塔蘭數的一個例子,如果對卡塔蘭數不熟悉的童鞋可能真不太好做。話說其實我也是今天才知道的好嘛-.-|||,為啥我以前都不知道捏?!為啥卡塔蘭數不像斐波那契數那樣人盡皆知呢,是我太孤陋寡聞麼?!不過今天知道也不晚,不斷的學習新的東西,這才是刷題的意義所在嘛! 好了,廢話不多說了,趕緊回到題目上來吧。我們先來看當 n = 1的情況,只能形成唯一的一棵二叉搜尋樹,n分別為1,2,3的情況如下所示:
1 n = 1 21 n = 2 / \ 1 2 1 3 3 2 1 n = 3 \ / / / \ \ 3 2 1 1 3 2 / / \ \ 2 1 2 3
就跟斐波那契數列一樣,我們把n = 0 時賦為1,因為空樹也算一種二叉搜尋樹,那麼n = 1時的情況可以看做是其左子樹個數乘以右子樹的個數,左右字數都是空樹,所以1乘1還是1。那麼n = 2時,由於1和2都可以為跟,分別算出來,再把它們加起來即可。n = 2的情況可由下面式子算出:
dp[2] = dp[0] * dp[1] (1為根的情況)
+ dp[1] * dp[0] (2為根的情況)
同理可寫出 n = 3 的計算方法:
dp[3] = dp[0] * dp[2] (1為根的情況)
+ dp[1] * dp[1] (2為根的情況)
+ dp[2] * dp[0] (3為根的情況)
由此可以得出卡塔蘭數列的遞推式為:
我們根據以上的分析,可以寫出程式碼如下:
class Solution { public: int numTrees(int n) { vector<int> dp(n + 1, 0); dp[0] = 1; dp[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j < i; ++j) { dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1]; } } return dp[n]; } };