二、八、十、十六進位制轉換（圖解篇）
一.本文所涉及的內容（Contents）
二.背景（Contexts）
之前使用SQL把十進位制的整數轉換為三十六進位制，SQL程式碼請參考：SQL Server 進位制轉換函式，其實它是基於二、八、十、十六進位制轉換的計算公式的，進位制之間的轉換是很基礎的知識，但是我發現網路上沒有一篇能把它說的清晰、簡單、易懂的文章，所以我才寫這篇文章的念頭，希望能讓你再也不用擔心、害怕進位制之間的轉換了。
下面是二、八、十、十六進位制之間關係的結構圖：
（Figure1：進位制關係結構圖）
下文會分4個部分對這個圖進行分解，針對每個部分會以圖文的形式進行講解：
- （二、八、十六進位制） → （十進位制）；
- （十進位制） → （二、八、十六進位制）；
- （二進位制） ↔ （八、十六進位制）；
- （八進位制） ↔ （十六進位制）；
三.進位制轉換演算法（Convert）
在數字後面加上不同的字母來表示不同的進位制。B（Binary)表示二進位制，O（Octal）表示八進位制，D（Decimal）或不加表示十進位制，H（Hexadecimal）表示十六進位制。例如：(101011)B=(53)O=(43)D=(2B)H
(一) （二、八、十六進位制） → （十進位制）
（Figure2：其他進位制轉換為十進位制）
- 二進位制 → 十進位制
方法：二進位制數從低位到高位（即從右往左）計算，第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方，第2位的權值是2的2次方，依次遞增下去，把最後的結果相加的值就是十進位制的值了。
例：將二進位制的(101011)B轉換為十進位制的步驟如下：
1. 第0位 1 x 2^0 = 1；
2. 第1位 1 x 2^1 = 2；
3. 第2位 0 x 2^2 = 0；
4. 第3位 1 x 2^3 = 8；
5. 第4位 0 x 2^4 = 0；
6. 第5位 1 x 2^5 = 32；
7. 讀數，把結果值相加，1+2+0+8+0+32=43，即(101011)B=(43)D。
- 八進位制 → 十進位制
方法：八進位制數從低位到高位（即從右往左）計算，第0位的權值是8的0次方，第1位的權值是8的1次方，第2位的權值是8的2次方，依次遞增下去，把最後的結果相加的值就是十進位制的值了。
八進位制就是逢8進1，八進位制數採用 0～7這八數來表達一個數。
例：將八進位制的(53)O轉換為十進位制的步驟如下：
1. 第0位 3 x 8^0 = 3；
2. 第1位 5 x 8^1 = 40；
3. 讀數，把結果值相加，3+40=43，即(53)O=(43)D。
- 十六進位制 → 十進位制
方法：十六進位制數從低位到高位（即從右往左）計算，第0位的權值是16的0次方，第1位的權值是16的1次方，第2位的權值是16的2次方，依次遞增下去，把最後的結果相加的值就是十進位制的值了。
十六進位制就是逢16進1，十六進位制的16個數為0123456789ABCDEF。
例：將十六進位制的(2B)H轉換為十進位制的步驟如下：
1. 第0位 B x 16^0 = 11；
2. 第1位 2 x 16^1 = 32；
3. 讀數，把結果值相加，11+32=43，即(2B)H=(43)D。
(二) （十進位制） → （二、八、十六進位制）
（Figure3：十進位制轉換為其它進位制）
- 十進位制 → 二進位制
方法：除2取餘法，即每次將整數部分除以2，餘數為該位權上的數，而商繼續除以2，餘數又為上一個位權上的數，這個步驟一直持續下去，直到商為0為止，最後讀數時候，從最後一個餘數讀起，一直到最前面的一個餘數。
例：將十進位制的(43)D轉換為二進位制的步驟如下：
1. 將商43除以2，商21餘數為1；
2. 將商21除以2，商10餘數為1；
3. 將商10除以2，商5餘數為0；
4. 將商5除以2，商2餘數為1；
5. 將商2除以2，商1餘數為0；
6. 將商1除以2，商0餘數為1；
7. 讀數，因為最後一位是經過多次除以2才得到的，因此它是最高位，讀數字從最後的餘數向前讀，101011，即(43)D=(101011)B。
（Figure4：圖解十進位制 → 二進位制）
- 十進位制 → 八進位制
方法1：除8取餘法，即每次將整數部分除以8，餘數為該位權上的數，而商繼續除以8，餘數又為上一個位權上的數，這個步驟一直持續下去，直到商為0為止，最後讀數時候，從最後一個餘數起，一直到最前面的一個餘數。
例：將十進位制的(796)D轉換為八進位制的步驟如下：
1. 將商796除以8，商99餘數為4；
2. 將商99除以8，商12餘數為3；
3. 將商12除以8，商1餘數為4；
4. 將商1除以8，商0餘數為1；
5. 讀數，因為最後一位是經過多次除以8才得到的，因此它是最高位，讀數字從最後的餘數向前讀，1434，即(796)D=(1434)O。
（Figure5：圖解十進位制 → 八進位制）
方法2：使用間接法，先將十進位制轉換成二進位制，然後將二進位制又轉換成八進位制；
（Figure6：圖解十進位制 → 八進位制）
- 十進位制 → 十六進位制
方法1：除16取餘法，即每次將整數部分除以16，餘數為該位權上的數，而商繼續除以16，餘數又為上一個位權上的數，這個步驟一直持續下去，直到商為0為止，最後讀數時候，從最後一個餘數起，一直到最前面的一個餘數。
例：將十進位制的(796)D轉換為十六進位制的步驟如下：
1. 將商796除以16，商49餘數為12，對應十六進位制的C；
2. 將商49除以16，商3餘數為1；
3. 將商3除以16，商0餘數為3；
4. 讀數，因為最後一位是經過多次除以16才得到的，因此它是最高位，讀數字從最後的餘數向前讀，31C，即(796)D=(31C)H。
（Figure7：圖解十進位制 → 十六進位制）
方法2：使用間接法，先將十進位制轉換成二進位制，然後將二進位制又轉換成十六進位制；
（Figure8：圖解十進位制 → 十六進位制）
(三) （二進位制） ↔ （八、十六進位制）
（Figure9：二進位制轉換為其它進位制）
- 二進位制 → 八進位制
方法：取三合一法，即從二進位制的小數點為分界點，向左（向右）每三位取成一位，接著將這三位二進位制按權相加，然後，按順序進行排列，小數點的位置不變，得到的數字就是我們所求的八進位制數。如果向左（向右）取三位後，取到最高（最低）位時候，如果無法湊足三位，可以在小數點最左邊（最右邊），即整數的最高位（最低位）添0，湊足三位。
例：將二進位制的(11010111.0100111)B轉換為八進位制的步驟如下：
1. 小數點前111 = 7；
2. 010 = 2；
3. 11補全為011，011 = 3；
4. 小數點後010 = 2；
5. 011 = 3；
6. 1補全為100，100 = 4；
7. 讀數，讀數從高位到低位，即(11010111.0100111)B=(327.234)O。
（Figure10：圖解二進位制 → 八進位制）
二進位制與八進位制編碼對應表：
|
二進位制 |
八進位制 |
|
000 |
0 |
|
001 |
1 |
|
010 |
2 |
|
011 |
3 |
|
100 |
4 |
|
101 |
5 |
|
110 |
6 |
|
111 |
7 |
- 八進位制 → 二進位制
方法：取一分三法，即將一位八進位制數分解成三位二進位制數，用三位二進位制按權相加去湊這位八進位制數，小數點位置照舊。
例：將八進位制的(327)O轉換為二進位制的步驟如下：
1. 3 = 011；
2. 2 = 010；
3. 7 = 111；
4. 讀數，讀數從高位到低位，011010111，即(327)O=(11010111)B。
（Figure11：圖解八進位制 → 二進位制）
- 二進位制 → 十六進位制
方法：取四合一法，即從二進位制的小數點為分界點，向左（向右）每四位取成一位，接著將這四位二進位制按權相加，然後，按順序進行排列，小數點的位置不變，得到的數字就是我們所求的十六進位制數。如果向左（向右）取四位後，取到最高（最低）位時候，如果無法湊足四位，可以在小數點最左邊（最右邊），即整數的最高位（最低位）添0，湊足四位。
例：將二進位制的(11010111)B轉換為十六進位制的步驟如下：
1. 0111 = 7；
2. 1101 = D；
3. 讀數，讀數從高位到低位，即(11010111)B=(D7)H。
（Figure12：圖解二進位制 → 十六進位制）
- 十六進位制 → 二進位制
方法：取一分四法，即將一位十六進位制數分解成四位二進位制數，用四位二進位制按權相加去湊這位十六進位制數，小數點位置照舊。
例：將十六進位制的(D7)H轉換為二進位制的步驟如下：
1. D = 1101；
2. 7 = 0111；
3. 讀數，讀數從高位到低位，即(D7)H=(11010111)B。
（Figure13：圖解十六進位制 → 二進位制）
(四) （八進位制） ↔ （十六進位制）
（Figure14：八進位制與十六進位制之間的轉換）
- 八進位制 → 十六進位制
方法：將八進位制轉換為二進位制，然後再將二進位制轉換為十六進位制，小數點位置不變。
例：將八進位制的(327)O轉換為十六進位制的步驟如下：
1. 3 = 011；
2. 2 = 010；
3. 7 = 111；
4. 0111 = 7；
5. 1101 = D；
6. 讀數，讀數從高位到低位，D7，即(327)O=(D7)H。
（Figure15：圖解八進位制 → 十六進位制）
- 十六進位制 → 八進位制
方法：將十六進位制轉換為二進位制，然後再將二進位制轉換為八進位制，小數點位置不變。
例：將十六進位制的(D7)H轉換為八進位制的步驟如下：
1. 7 = 0111；
2. D = 1101；
3. 0111 = 7；
4. 010 = 2；
5. 011 = 3；
6. 讀數，讀數從高位到低位，327，即(D7)H=(327)O。
（Figure16：圖解十六進位制 → 八進位制）
四.擴充套件閱讀
1. 包含小數的進位制換算：
(ABC.8C)H=10x16^2+11x16^1+12x16^0+8x16^-1+12x16^-2
=2560+176+12+0.5+0.046875
=(2748.546875)D
2. 負次冪的計算：
2^-5=2^(0-5)=2^0/2^5=1/2^5
同底數冪相除，底數不變，指數相減，反過來
3. 我們需要了解一個數學關係，即23=8，24=16，而八進位制和十六進位制是用這關係衍生而來的，即用三位二進位制表示一位八進位制，用四位二進位制表示一位十六進位制數。接著，記住4個數字8、4、2、1（23=8、22=4、21=2、20=1）。