混合圖的歐拉回路求解方法(轉)
阿新 • • 發佈:2018-12-30
基礎知識
歐拉回路是圖G中的一個迴路,經過每條邊有且僅一次,稱該回路為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為尤拉圖,簡稱E圖。
無向圖中存在歐拉回路的條件:每個點的度數均為偶數。
有向圖中存在歐拉回路的條件:每個點的入度=出度。
尤拉路徑比歐拉回路要求少一點:
無向圖中存在尤拉路徑的條件:每個點的度數均為偶數或者有且僅有2個度數為奇數的點。
有向圖中存在尤拉路徑的條件:除了2個點外,其餘的點入度=出度,且在這2個點中,一個點的入度比出度大1,另一個出度比入度大1。
尤拉路徑的輸出:經典的套圈演算法。
下面來重點講講混合圖的歐拉回路問題。
混合圖就是邊集中有有向邊和無向邊同時存在。這時候需要用網路流建模求解。
建模:
把該圖的無向邊隨便定向,計算每個點的入度和出度。如果有某個點出入度之差為奇數,那麼肯定不存在歐拉回路。 因為歐拉回路要求每點入度 = 出度,也就是總度數為偶數,存在奇數度點必不能有歐拉回路。
好了,現在每個點入度和出度之差均為偶數。那麼將這個偶數除以2,得x。也就是說,對於每一個點,只要將x條邊改變方向(入>出就是變入,出>入就是變出),就能保證出 = 入。如果每個點都是出 = 入,那麼很明顯,該圖就存在歐拉回路。
現在的問題就變成了:我該改變哪些邊,可以讓每個點出 = 入?構造網路流模型。
首先,有向邊是不能改變方向的,要之無用,刪。一開始不是把無向邊定向了嗎?定的是什麼向,就把網路構建成什麼樣,邊長容量上限1。另新建s和t。對於入 > 出的點u,連線邊(u, t)、容量為x,對於出 > 入的點v,連線邊(s, v),容量為x(注意對不同的點x不同)。
之後,察看從S發出的所有邊是否滿流。有就是能有歐拉回路,沒有就是沒有。歐拉回路是哪個?察看流值分配,將所有流量非 0(上限是1,流值不是0就是1)的邊反向,就能得到每點入度 = 出度的尤拉圖。
由於是滿流,所以每個入 > 出的點,都有x條邊進來,將這些進來的邊反向,OK,入 = 出了。對於出 > 入的點亦然。那麼,沒和s、t連線的點怎麼辦?和s連線的條件是出 > 入,和t連線的條件是入 > 出,那麼這個既沒和s也沒和t連線的點,自然早在開始就已經滿足入 = 出了。那麼在網路流過程中,這些點屬於“中間點”。我們知道中間點流量不允許有累積的,這樣,進去多少就出來多少,反向之後,自然仍保持平衡。
所以,就這樣,混合圖歐拉回路問題,解了。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=0x3ffffff;
const int MAXN = 333;
const int MAXM = 100008;
const double eps = 1e-6;
struct Edge{
int data, next, cap, flow, oppo;
Edge(){
}
Edge(int data, int next, int cap, int flow, int oppo):data(data)
, next(next), cap(cap), flow(flow), oppo(oppo){
}
}edge[MAXM];
int link[MAXM][3];
int list[MAXN];
int degree[MAXN];
int queue[MAXN], path[MAXN], add[MAXN];
int n, m, e, v;
void Add_Link(int a, int b, int c) {
edge[e] = Edge(b, list[a], c, 0, e+1);
edge[e+1] = Edge(a, list[b], 0, 0, e);
list[a] = e;
list[b] = e+1;
e += 2;
}
void Init() {
int i;
v = n + 2;
for (i = 0; i < v; i++) {
list[i] = -1;
degree[i] = 0;
}
e = 0;
for (i = 0; i < m; i++) {
degree[link[i][0]]--;
degree[link[i][1]]++;
if (!link[i][2]) {
Add_Link(link[i][0], link[i][1], 1);
}
}
}
int Max_Flow() {
int ans = 0, head, tail, curr, succ, i, j, k;
bool flag = true;
while(flag) {
flag = false;
for (i = 0; i < v; i++) {
path[i] = -1;
}
path[n] = -2;
queue[0] = n;
add[n] = inf;
for (head = tail = 0; !flag && head <= tail; head++) {
curr = queue[head];
for (i = list[curr]; i != -1; i = edge[i].next) {
if (path[succ = edge[i].data] == -1 && edge[i].flow < edge[i].cap) {
queue[++tail] = succ;
path[succ] = i;
add[succ] = min(add[curr], edge[i].cap-edge[i].flow);
if (succ == n+1) {
ans += add[succ];
flag = true;
for (j = succ; path[j] >= 0; j = edge[k].data) {
k = edge[path[j]].oppo;
edge[path[j]].flow += add[succ];
edge[k].flow -= add[succ];
}
break;
}
}
}
}
}
return ans;
}
bool Work() {
Init();
int i, ans = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
if (degree[i] & 1) {
return false;
}
}
for (i = 0; i < n; i++) {
if (degree[i] < 0) {
Add_Link(n, i, -degree[i]/2);
ans += -degree[i]/2;
}
if (degree[i] > 0) {
Add_Link(i, n+1, degree[i]/2);
}
}
if (Max_Flow() < ans) {
return false;
}
return true;
}
int main() {
//#ifndef ONLINE_JUDGE
// freopen("1.txt", "r", stdin);
//#endif
int i, j, k;
int T;
cin >> T;
while(T--) {
cin >> n >> m;
for (i = 0; i < m; i++) {
scanf("%d%d%d", &link[i][0], &link[i][1], &link[i][2]);
link[i][0]--;
link[i][1]--;
}
if (Work()) {
cout << "possible" << endl;
} else {
cout << "impossible" << endl;
}
}
return 0;
}