二維碼裡德所羅門演算法

這是一個相當古老的專案了。

前序

之前一直想寫一個有關二維碼生成器的教程，由於各種各樣的原因，當然主要原因是懶，一直沒有下手。最近感覺還是要做點什麼，不然有種要爛尾的衝動。

我之所以要寫這個教程，主要是前些年有一個專案，需要用到二維碼。當然網上的確已經有很多二維碼生成器的版本了，但是寫C和C++的還是少數，而且最坑爹的是這些人寫程式碼都不帶註釋的。對於我來說，我的工作不僅僅限於生成一個二維碼就完了，還需要利用二維碼的一些特性對二維碼進行處理，這樣的話前人的程式碼就相當不友好了，索性我就自己造了輪子。當然我也是寫了一部分註釋，基本能解釋每個函式是幹了什麼工作。但是這麼做還是很難對二維碼有一個整體性的認識，為了造福後人，我打算根據自己寫的程式碼，詳細的解析二維碼，造福後人，避免大家趟我的坑。

github專案歡迎fork，star，可以結合程式碼理解實現。

二維碼的理論基礎

想要比較深入理解二維碼，理解二維碼的糾錯演算法是很必要的。

二維碼中使用的Reed Solomom 糾錯演算法是BCH碼的一種，廣泛用於通訊，航空航天等領域。RS碼具有低冗餘，高糾錯的特點。為什麼二維碼一部分缺失還能正確解碼，二維碼的糾錯能力有多強，對於這些東西我們要知其然，也要知其所以然。

有限域理論

在正式開始講解RS碼之前，還是要補習一些數學知識。

有限域又稱為伽羅瓦域(Galois Field),是僅含有限個元素的域，是由伽羅瓦於十八世紀30年代研究代數方程根式求解問題時引出。

有限域的特徵數必定是特徵為 $p$

p

的有限域，則為某一素數

p

，因此它含的素域同構於

Z_{p}

。若

F

中元素個數為

p^{n}

元素，

n

為某一正整數。元素個數相同的有限域是同構的，通常用

G F (p^{n})

表示

p^{n}

元的有限域。

在此歪個題，伽羅瓦可是個傳奇數學家，死的也很有傳奇性。想了解的筒子可以看死於決鬥的天才少年伽羅瓦。

在本教程裡，生成有限域依靠GenericGF類。GenericGF是生成伽羅瓦域的標準操作。下面我們將參照GenericGF裡的相關函式來具體學習如何生成二維碼生成所需的伽羅瓦域。

class GenericGF final {

private:
     int size;
     int 
 primitive;
     int geneBase;
     std::vector<int> expTab;
     std::vector<int> logTab;

public:
    GenericGF(int primitive, int size, int b);
... 
}

GeneicGF 類有5個成員函式，其中前三個為建構函式傳入的引數，後兩個用來儲存計算結果。下面我們根據具體引數來講解二維碼有限域生成。

primitive 有限域的本原多項式。

在有限域中除了0,1之外，其餘所有的元素都是有本原多項式生成，本原多項式特徵滿足 $\frac{x^{2^{p} - 1} + 1}{P (x)}$ 的餘數為0，這點可能比較難以理解，但是我們可以記住二維碼生成的有限域的本原多項式可以表示為 $P (x) = x^{8} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + 1$ ，所以primitive=0x011D，直接輸入就行。

size 有限域中元素的個數 $p^{n}$

為了方便計算機計算通常 $p = 2$ ，且二維碼的基本碼子大小為8bit，所以size=256,意味著二維碼生成有限域中有256個元素。

expTab 儲存對應冪次由本原多項式生成的元素

假設expTab[i]= $a^{i}$ ， $a^{i} = p^{i} m o d P (x), i < 2^{p}$ ，logTab 儲存expTab中對應元素取對數的結果，這樣做的好處是可以將有限域中元素之間乘法轉為對數加法計算，減少計算量。

geneBase 對應裡的所羅門校驗碼生成式 $G (x) = \prod_{i = 0}^{K} (x - a^{b + i})$ 中的係數 $b$

$b$ 可以為0或1，但在二維碼生成式中我們取通常取 $b = 0$

一切有限域都有加法和乘法兩種運算，除此之外，GenericGF還定義了幾種常用運算

int add_or_sub(int a, int b)
有限域中兩個元素加法計算，減法可以看做元素補的加法 $a + b$

int exp(const int a)
返回expTab中第a個本原元素

int log(const int a)
返回expTab中第a個本原元素的對數 $l o g (a)$

int multiply(const int a, const int b)
返回有限域中兩個元素的乘積 $a * b$

int inverse(const int a)
返回有限域中元素a的逆 $a * a^{- 1} = 1$

裡的所羅門演算法主要是定義在有限域多項式函式上的操作，因此還在GenericGFPoly類中定義了一些有限域多項式函式方法：

class  GenericGFPoly final {
public:
    GenericGF *field;
    std::vector<int> coeff;
    ...
}

GenericGFPoly類中定義了兩個成員函式，其中field代表有限域中的未知數，coeff是其係數。

GenericGFPoly * getZero()
定義一個係數為0的單項式函式

GenericGFPoly * getOne()
定義一個係數為1的單項式函式

GenericGFPoly* add_or_sub(GenericGFPoly* other)
返回多項式和

GenericGFPoly* multiply(const int scalar)
返回多項式函式與元素乘積

GenericGFPoly* multiply(GenericGFPoly *other)
返回多項式函式與多項式函式乘積

std::vector<GenericGFPoly*> divide(GenericGFPoly *other)
多項式與多項式函式除法，返回商和餘數

裡的所羅門編碼演算法

介紹完有限域的概念後我們終於可以進入正題，開始介紹二維碼的編碼演算法了。

首先我們要定義一些符號在 $G F (2^{m})$ 域中，定義 $R S (n, k)$ 為一次標準的裡的所羅門編碼操作。其中符號含義如下：　

$m$ 　　　　　　　　表示符號(本原元素)大小，如 $m = 8$ 表示符號由８位二進位制陣列成
　　　 $n$ 　　　　　　　　　表示碼塊符號的長度
　　　 $k$ 　　　　　　　　　表示碼塊中資訊的符號長度
　　　 $K = n - k \geq 2 t$ 　表示校驗碼的符號數
　　　 $t$ 　　　　　　　　　表示能夠校正的錯誤碼塊字元數
　　
　　　
因此，如果我們在生成二維碼時，需要生成一個 $R S (36, 22)$ 的裡的所羅門編碼，意味著這個編碼塊一共由36byte字元組成，其中前22byte為資訊資料，後14byte為校驗編碼，這個編碼塊最多可以糾正不超過7個分散或連續符號的錯誤。

裡的所羅門編碼演算法實際上是計算資訊多項式 $M (x)$ ，除以校驗碼生成多項式 $G (x)$ 之後的餘數多項式 $R (x)$

G (x) = \frac{M (x) x^{K}}{G (x)} (1)

二維碼裡德所羅門演算法

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二維碼的理論基礎

有限域理論

裡的所羅門編碼演算法

二維碼裡德所羅門演算法

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