由於筆者在上學的期間，時常將數學課當成能夠睡覺的課，造成很多基本的數學知識印象不深或者全部忘記了，但最近又要研究演算法相關的內容。「人算，終究不如天算」筆者本著不會就學的理念，還是覺得整理一份學習的數學知識出來。

注意：此處只是做知識彙總，所以很多內容將直接照抄百度/維基百科

概率論

概率論是研究隨機現象數量規律的數學分支。隨機現象是相對於決定性現象而言的。在一定條件下必然發生某一結果的現象稱為決定性現象。例如在標準大氣壓下，純水加熱到100℃時水必然會沸騰等。隨機現象則是指在基本條件不變的情況下，每一次試驗或者觀察前，不能肯定會出現哪種結果，呈現出偶然性。例如，擲一枚硬幣，可能會出現正面或者反面。

定理：

• 定理1

  互補法則，與 A 互補事件的概率始終是 1-P(A)

• 定理2

  不可能事件的概率為零

• 定理3

  如果A1…An事件不能同時發生（為互斥事件），而且若干事件A1，A2，…An∈S每兩兩之間是空集關係，那麼這些所有事件集合的概率等於單個事件的概率的和。

  eg: 在一次擲骰子中，得到5點或者6點的概率是：P=P(A5)+P(A6)$P=P(A_5)+P(A_6)$

• 定理4

  如果事件 A，B 是差集關係，則有P(A−B)=P(A)−P(A⋂B)$P(A-B)=P(A)-P(A\bigcap B)$

• 定理5

  任意事件加法法則，對於事件空間 S 中的任意兩個事件 A 和 B，有如下定理：概率P(

  A⋃B)=P(A)+P(B)−P(A⋂B)$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$

• 定理6

  事件 A，B 同時發生的概率

  P(A⋂B)=P(A)∗P(B|A)=P(B)∗P(A|B)$P(A\bigcap B)=P(A)\ast P(B|A)=P(B)\ast P(A|B)$

• 定理7

  兩個不相關聯事件 A，B 同時發生的概率是：P(A⋂B)=P(A)∗P(B)$P(A\bigcap B)=P(A)\ast P(B)$

  注意： 這個定理實際上是定理 6 的特殊情況，如果事件 A、B 沒有聯絡，則有P(A|B)=P(A)$P(A|B)=P(A)$ ，以及P(B|A)=P(B)$P(B|A)=P(B)$ 。

完全概率

完全概率適用於分析具有多層結構的隨機試驗情況

n 個事件H1，H2$H1，H2$ …Hn$H_n$ 互相獨立，共同組成整個事件空間 S，即Hi⋂Hj=∅$H_i\bigcap H_j=\varnothing$ ，而且H1⋃H2⋃H3⋂...Hn=S$H_1\bigcup H_2\bigcup H_3\bigcap ...H_n=S$ 。這時 A 的概率可以表示為P(A)=∑njP(A|Hj)∗P(Hj)$P(A)=\sum _j^{n}P(A|H_j)\ast P(H_j)$

貝葉斯定理

按照定理6 P(A⋂B)=P(A)∗P(B|A)=P(B)∗P(A|B)$P(A\bigcap B)=P(A)\ast P(B|A)=P(B)\ast P(A|B)$ ，可以匯出貝葉斯定理P(A|B)=P(B|A)∗P(A)P(B)$P(A|B)=\frac{P(B|A)\ast P(A)}{P(B)}$如上公式也可以變行為P(B|A)=P(A|B)∗P(B)P(A)$P(B|A)=\frac{P(A|B)\ast P(B)}{P(A)}$

參考

• 維基百科
• 百度百科

數學期望

在概率論和統計學中，數學期望（或均值）是每次實驗中每次可能結果的概率乘以其結果的總和，是最基本的數學特徵之一。它反應隨機變數取平均值的大小，又稱為加權平均 E(x)$E(x)$ 。期望值不一定包含於變數的輸出值集合裡。

離散型

隨機變數只取得有限個值或無窮能按一定次序一一列出，其值域為一個或若干個有限或無限區間，這樣的隨機變數稱為離散型隨機變數。

離散型隨機變數 X 的取值為 X1,X2,X3,...,Xn，p(