題：假設你有一個用1001個整陣列成的陣列，這些整數是任意排列的，但是你知道所有的整數都在1到1000(包括1000)之間。此外，除一個數字出現兩次外，其他所有數字只出現一次。假設你只能對這個陣列做一次處理，用一種演算法找出重複的那個數字。如果你在運算中使用了輔助的儲存方式，那麼你能找到不用這種方式的演算法嗎?

分析：

方法一、若使用輔助的儲存方式，該選擇何種儲存方式呢？可使用hash的儲存方式，以1到1000作為hash表的索引，遍歷原陣列，統計各數字出現的個數並存儲到以該數字為索引值的hash表中，若某個hash[x]的值為2則退出迴圈，x就是重複出現兩次的數字。時間複雜度最壞是O(n)。優點：高效率，缺點：消耗的記憶體空間過大。

1. int fun1(constint a[])  
2. {  
3.   int hash[1002]={0};  
4.   int x=0;  
5.   for(int i = 0; i<1001; i++)  
6.     {  
7.       if((++hash[a[i]]) == 2)  
8.         {  
9.           x = a[i];  
10.           break;  
11.         }  
12.     }  
13.   return x;  
14. }  

方法二、若不使用輔助的儲存方式呢？已知1001個整陣列成的陣列只有一個數字出現了兩次，且整數都在1到1000之間，所以可推得數組裡麵包含了1到1000之間的所有數字為[1,2,3……1000]和一個出現兩次的x為1到1000中的任一個數字。這樣就可以計算原數組裡的所有數字之和S1和等差數列[1,2,3……1000]

1. int fun2(constint a[])  
2. {  
3.   int s1=0,s2;  
4.   s2 = 1001*1000/2;   
5.   for(int i = 0; i<1001; i++)  
6.     {  
7.       s1+=a[i];  
8.     }  
9.   return s1-s2;  
10. }  

思路a:求和，最簡單也最容易想出來的方法 1+2+3+4+。。。+1000的和與陣列的和求差，差的結果就是這個數字，缺點是，求和的話，結果可能會溢位。不妨看思路2

    思路b:異或，位操作總有讓你驚喜的地方，原理是：

        @ 如果兩個相同的數求異或，那麼結果為0。

        @ 0與一個數異或的結果為這個數

        @ a^b ^a = b   ;a^b^b  = a;

       據此，可以對陣列的元素與1,2,34,56,7,8...1000依次異或，最後的結果就是出現兩次的數字。

相應的程式碼如下：

1. #include <stdio.h>
2. #include <stdlib.h>
3. int findTheNum(int *a){  
4.     int k = a[0];  
5.     for(int i=1;i<=1000;i++){  
6.         k ^= (a[i]^i);  
7.     }  
8.     return k;  
9. }  
10. main(){  
11.     int a[1001];  
12.     for(int i = 0;i<=999;i++ ){  
13.         a[i] = i+1;  
14.     }  
15.     a[1000] = rand()%1000;  
16.     printf("the num : %d %d \n",a[1000],findTheNum(a));  
17.     return 0;  
18. }