假定兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？

這就是著名的斐波那契數列，也稱作兔子數列。

一、問題分析

剛開始，有1對幼兔，兔子總對數為1；

經過一個月後，幼兔長為小兔，兔子總對數為1；

經過二個月後，幼兔長大為成年兔子，並生出1對幼兔，兔子總對數為2對；

經過三個月後，成年兔子兔子再生出1對幼兔，幼兔長大為小兔，兔子總對數達到3對；

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依次類推可以得到下表：

根據上表可以發現，對於兔子總對數，從第三項開始，每一項均為前兩項之和。

二、斐波那契數列

在數學上，斐波納契數列以如下被以遞推的方法定義：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)（n>=3，n∈N*），

下面讓我們通過遞迴演算法來求解這個兔子數列吧。

三、不同演算法實現

package com.liao.algorithm;

import java.util.Scanner;

public class Recursion {
	private static int a;//輸入月份數
	static int t1, t2, t3;//統計程式碼執行次數

	public static void main(String[] args) {
		while (a <= 0) {
			System.out.println("請輸入經過月份（1～n）:");
			a = new Scanner(System.in).nextInt();
		}
		System.out.println(a + "個月後，兔子總數為：" + fib1(a) + ",執行次數：" + t1);
		System.out.println(a + "個月後，兔子總數為：" + fib2(1, 1, a) + ",執行次數：" + t2);
		System.out.println(a + "個月後，兔子總數為：" + fib3(1, 1, a) + ",執行次數：" + t3);
	}

	// 遞迴實現
	public static int fib1(int n) {
		t1++;
		if (n < 3)
			return 1;
		return fib1(n - 1) + fib1(n - 2);
	}

	// 尾遞迴實現
	public static int fib2(int fir, int sen, int n) {
		t2++;
		if (n < 3)
			return 1;
		if (n == 3)
			return fir + sen;
		return fib2(sen, fir + sen, n - 1);
	}

	// 迭代實現
	public static int fib3(int fir, int sen, int n) {
		int total = 1;
		if (n < 3)
			return total;
		while (n > 2) {
			t3++;
			total = fir + sen;
			fir = sen;
			sen = total;
			n--;
		}
		return total;
	}
}
 

四、執行結果

五、分析小結

1、三種演算法都得到了一樣的結果，但是有一個地方有非常大的區別，那就是程式碼執行次數上，或者說是空間複雜度。

2、遞迴演算法即第一種方法，程式碼看著最簡潔，但其重複運算次數太多，運算效率低，其時間複雜度為O（2^n），空間複雜度為O（n）;

3、尾遞迴演算法將每一次的計算結果作為引數傳入方法，減少不必要的重複運算，運算效率大幅提高，時間複雜度為O（n）;

4、迭代演算法即第三種演算法，是通過我們常用的迴圈判斷語句實現，由於僅建立了 4個基礎變數，通過賦值傳遞數值，時間複雜度（O（n））和空間複雜度（O（1））均是最低的。