《Convolutional Neural Networks》是Andrw Ng深度學習專項課程中的第四門課。這門課主要介紹卷積神經網路（CNN）的基本概念、模型和具體應用。該門課共有4周課時，所以我將分成4次筆記來總結，這是第一節筆記。

1. Computer Vision

機器視覺（Computer Vision）是深度學習應用的主要方向之一。一般的CV問題包括以下三類：

• Image Classification

• Object detection

• Neural Style Transfer

下圖展示了一個神經風格轉換（Neural Style Transfer）的例子：

使用傳統神經網路處理機器視覺的一個主要問題是輸入層維度很大。例如一張64x64x3的圖片，神經網路輸入層的維度為12288。如果圖片尺寸較大，例如一張1000x1000x3的圖片，神經網路輸入層的維度將達到3百萬，使得網路權重W非常龐大。這樣會造成兩個後果，一是神經網路結構複雜，資料量相對不夠，容易出現過擬合；二是所需記憶體、計算量較大。解決這一問題的方法就是使用卷積神經網路（CNN）。

2. Edge Detection Example

對於CV問題，我們在之前的筆記中介紹過，神經網路由淺層到深層，分別可以檢測出圖片的邊緣特徵 、區域性特徵（例如眼睛、鼻子等）、整體面部輪廓。

這一小節我們將介紹如何檢測圖片的邊緣。

最常檢測的圖片邊緣有兩類：一是垂直邊緣（vertical edges），二是水平邊緣（horizontal edges）。

圖片的邊緣檢測可以通過與相應濾波器進行卷積來實現。以垂直邊緣檢測為例，原始圖片尺寸為6x6，濾波器filter尺寸為3x3，卷積後的圖片尺寸為4x4，得到結果如下：

上圖只顯示了卷積後的第一個值和最後一個值。

順便提一下，

∗$\ast$表示卷積操作。python中，卷積用conv_forward()表示；tensorflow中，卷積用tf.nn.conv2d()表示；keras中，卷積用Conv2D()表示。

Vertical edge detection能夠檢測圖片的垂直方向邊緣。下圖對應一個垂直邊緣檢測的例子：

3. More Edge Detection

圖片邊緣有兩種漸變方式，一種是由明變暗，另一種是由暗變明。以垂直邊緣檢測為例，下圖展示了兩種方式的區別。實際應用中，這兩種漸變方式並不影響邊緣檢測結果，可以對輸出圖片取絕對值操作，得到同樣的結果。

垂直邊緣檢測和水平邊緣檢測的濾波器運算元如下所示：

下圖展示一個水平邊緣檢測的例子：

除了上面提到的這種簡單的Vertical、Horizontal濾波器之外，還有其它常用的filters，例如Sobel filter和Scharr filter。這兩種濾波器的特點是增加圖片中心區域的權重。

上圖展示的是垂直邊緣檢測運算元，水平邊緣檢測運算元只需將上圖順時針翻轉90度即可。

在深度學習中，如果我們想檢測圖片的各種邊緣特徵，而不僅限於垂直邊緣和水平邊緣，那麼filter的數值一般需要通過模型訓練得到，類似於標準神經網路中的權重W一樣由梯度下降演算法反覆迭代求得。CNN的主要目的就是計算出這些filter的數值。確定得到了這些filter後，CNN淺層網路也就實現了對圖片所有邊緣特徵的檢測。

4. Padding

按照我們上面講的圖片卷積，如果原始圖片尺寸為n x n，filter尺寸為f x f，則卷積後的圖片尺寸為(n-f+1) x (n-f+1)，注意f一般為奇數。這樣會帶來兩個問題：

• 卷積運算後，輸出圖片尺寸縮小

• 原始圖片邊緣資訊對輸出貢獻得少，輸出圖片丟失邊緣資訊

為了解決圖片縮小的問題，可以使用padding方法，即把原始圖片尺寸進行擴充套件，擴充套件區域補零，用p來表示每個方向擴充套件的寬度。

經過padding之後，原始圖片尺寸為(n+2p) x (n+2p)，filter尺寸為f x f，則卷積後的圖片尺寸為(n+2p-f+1) x (n+2p-f+1)。若要保證卷積前後圖片尺寸不變，則p應滿足：

p=f−12$$p=\frac{f-1}{2}$$

沒有padding操作，p=0$p=0$，我們稱之為“Valid convolutions”；有padding操作，p=f−12$p=\frac{f-1}{2}$，我們稱之為“Same convolutions”。

5. Strided Convolutions

Stride表示filter在原圖片中水平方向和垂直方向每次的步進長度。之前我們預設stride=1。若stride=2，則表示filter每次步進長度為2，即隔一點移動一次。

我們用s表示stride長度，p表示padding長度，如果原始圖片尺寸為n x n，filter尺寸為f x f，則卷積後的圖片尺寸為：

⌊n+2p−fs+1⌋X⌊n+2p−fs+1⌋$$\lfloor \frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor X\lfloor \frac{n+2p-f}{s}+1\rfloor$$

上式中，⌊⋯⌋$\lfloor \cdots \rfloor$表示向下取整。

值得一提的是，相關係數（cross-correlations）與卷積（convolutions）之間是有區別的。實際上，真正的卷積運算會先將filter繞其中心旋轉180度，然後再將旋轉後的filter在原始圖片上進行滑動計算。filter旋轉如下所示：

比較而言，相關係數的計算過程則不會對filter進行旋轉，而是直接在原始圖片上進行滑動計算。

其實，目前為止我們介紹的CNN卷積實際上計算的是相關係數，而不是數學意義上的卷積。但是，為了簡化計算，我們一般把CNN中的這種“相關係數”就稱作卷積運算。之所以可以這麼等效，是因為濾波器運算元一般是水平或垂直對稱的，180度旋轉影響不大；而且最終濾波器運算元需要通過CNN網路梯度下降演算法計算得到，旋轉部分可以看作是包含在CNN模型演算法中。總的來說，忽略旋轉運算可以大大提高CNN網路運算速度，而且不影響模型效能。

卷積運算服從結合律：

(A∗B)∗C=A∗(B∗C)$$(A\ast B)\ast C=A\ast (B\ast C)$$

6. Convolutions Over Volume

對於3通道的RGB圖片，其對應的濾波器運算元同樣也是3通道的。例如一個圖片是6 x 6 x 3，分別表示圖片的高度（height）、寬度（weight）和通道（#channel）。

3通道圖片的卷積運算與單通道圖片的卷積運算基本一致。過程是將每個單通道（R，G，B）與對應的filter進行卷積運算求和，然後再將3通道的和相加，得到輸出圖片的一個畫素值。

不同通道的濾波運算元可以不相同。例如R通道filter實現垂直邊緣檢測，G和B通道不進行邊緣檢測，全部置零，或者將R，G，B三通道filter全部設定為水平邊緣檢測。

為了進行多個卷積運算，實現更多邊緣檢測，可以增加更多的濾波器組。例如設定第一個濾波器組實現垂直邊緣檢測，第二個濾波器組實現水平邊緣檢測。這樣，不同濾波器組卷積得到不同的輸出，個數由濾波器組決定。

若輸入圖片的尺寸為n x n x nc$n_c$，filter尺寸為f x f x nc$n_c$，則卷積後的圖片尺寸為(n-f+1) x (n-f+1) x n′c$n_c^{\prime }$。其中，nc$n_c$為圖片通道數目，n′c$n_c^{\prime }$為濾波器組個數。

7. One Layer of a Convolutional Network

卷積神經網路的單層結構如下所示：

相比之前的卷積過程，CNN的單層結構多了啟用函式ReLU和偏移量b。整個過程與標準的神經網路單層結構非常類似：

Z[l]=W[l]A[l−1]+b$$Z^{[l]}=W^{[l]}{A}^{[l-1]}+b$$ A[l]=g[l](Z[l])$$A^{[l]}=g^{[l]}(Z^{[l]})$$

卷積運算對應著上式中的乘積運算，濾波器組數值對應著權重W[l]$W^{[l]}$，所選的啟用函式為ReLU。

我們來計算一下上圖中引數的數目：每個濾波器組有3x3x3=27個引數，還有1個偏移量b，則每個濾波器組有27+1=28個引數，兩個濾波器組總共包含28x2=56個引數。我們發現，選定濾波器組後，引數數目與輸入圖片尺寸無關。所以，就不存在由於圖片尺寸過大，造成引數過多的情況。例如一張1000x1000x3的圖片，標準神經網路輸入層的維度將達到3百萬，而在CNN中，引數數目只由濾波器組決定，數目相對來說要少得多，這是CNN的優勢之一。

最後，我們總結一下CNN單層結構的所有標記符號，設層數為l$l$。

• f[l]$f^{[l]}$ = filter size

• p[l]$p^{[l]}$ = padding

• s[l]$s^{[l]}$ = stride

• n[l]c$n_c^{[l]}$ = number of filters

輸入維度為：n[l−1]H$n_H^{[l-1]}$ x n[l−1]W$n_W^{[l-1]}$ x n[l−1]c$n_c^{[l-1]}$

每個濾波器組維度為：f[l]$f^{[l]}$ x f