近期公式證明時候遇到向量範數的運算性質，略作整理：

向量範數

Def. 設V是Ω上的線性空間，α∈V , ||α||:V→R+, 滿足

• 非負性
• 齊次性
  ||kα||=|k|⋅||α||,∀k∈Ω
• 三角不等式
  ||α+β||≤||α||+||β||,∀α,β∈V
  則稱||α||為向量α的範數.

proof:||α+β||≤||α||+||β||,∀α,β∈V

(||α||+||β||)2=||α||2+||β||2+2||α||∗||β||

||α+β||2=||α||2+||β|

|2+2<α∗β>

Cn中常用範數,X=(x1,x2,…,xn)T∈Cn

• L1範數：∑ni=1|xi|

• L2範數：∑ni=1|xi|2−−−−−−−−√

• L∞範數：maxi=1,2,…,n|xi|

幾種範數的幾何意義：

若X=(x1,x2)T,且||X||=1,對應L1，L2，L∞，Lp範數的圖形分別為

常用範數之間的關係

• 1n||X||1≤||X||∞≤||X||1

proof :