整數劃分總結（動態規劃）
阿新 • • 發佈：2019-01-02
先引入一個比較實際的問題：分蘋果
題目
M個相同蘋果放到N個相同籃子裡有多少种放法,允許有籃子不放。
1<=M<=10，1<=N<=10
例如5個蘋果三個籃子，3，1，1 和 1,1,3是同一种放法
輸入 7 3
輸出 8
思路
設f(m,n) 為m個蘋果，n個盤子的放法數目：
- 當n>m：必定有n-m個盤子永遠空著，去掉它們對擺放蘋果方法數目不產生影響。即if(n>m) f(m,n) = f(m,m)
- 當n<=m：不同的放法可以分成兩類：
（1）有至少一個盤子空著，即相當於f(m,n) = f(m,n-1);
（2）所有盤子都有蘋果，相當於可以從每個盤子中拿掉一個蘋果，不影響不同放法的數目，即f(m,n) = f(m-n,n).而總的放蘋果的放法數目等於兩者的和，即 f(m,n) =f(m,n-1)+f(m-n,n)
遞迴出口條件說明：
當n=1時，所有蘋果都必須放在一個盤子裡，所以返回１；
當沒有蘋果可放時，定義為１种放法；
遞迴的兩條路，第一條n會逐漸減少，終會到達出口n==1;
第二條m會逐漸減少，因為n>m時，我們會return f(m,m) 所以終會到達出口m==0．
程式碼
#include <iostream> #include <string> #include <vector> #include <stack> #include <algorithm> using namespace std; // apple 個 蘋果 basket 個 籃子 int ShareApple(int apple,int basket){ // 因為我們總是讓apple >= basket來求解的，所以apple - basket >= 0, // 讓apple = 0時候結束，如果改為apple = 1，可能得不到正確解 if(apple == 0 || basket == 1){ return 1; }//if // 籃子多於蘋果 按照蘋果個數分 else if(apple < basket){ return ShareApple(apple,apple); }//else return ShareApple(apple,basket-1) + ShareApple(apple - basket,basket); } int main(){ int apple,basket; //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\acm.txt","r",stdin); while(cin>>apple>>basket){ cout<<ShareApple(apple,basket)<<endl; }//while return 0; }
是不是看著很簡單？遞迴就是如此，思路很容易理解，但是很多子問題重複計算，複雜度很高。。。額。。。重點就是要說的動態規劃咯（自底向上）
經典問題：整數劃分
- /*
- 整數劃分
- （一）將n劃分成若干不同整數之和的劃分數
- （二）將n劃分成若干正整數之和的劃分數
- （三）將n劃分成k個正整數之和的劃分數
- （四）將n劃分成最大數不超過k的劃分數
- （五）將n劃分成若干個 奇正整數之和的劃分數
- */
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cmath> #include<cstring> #include<vector> #include<queue> #include<set> #include<map> #include<algorithm> #include<sstream> #define eps 1e-9 #define pi acos(-1) #define INF 0x7fffffff #define inf -INF #define MM 12900 #define N 50 using namespace std; typedef long long ll; const int _max = N + 10; int dp[_max][_max],n,k,out[6]; int main(){ #ifndef ONLINE_JUDGE freopen("input.txt","r",stdin); #endif // ONLINE_JUDGE while(scanf("%d%d",&n,&k)==2){ /*****************整數劃分（二）******************/ memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for(int i = 0; i <= n; ++ i) for(int j = 1; j <= n; ++ j){ if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i]; else dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1]; } out[1] = dp[n][n]; /*****************整數劃分（四）******************/ out[3] = dp[n][k]; /*****************整數劃分（三）******************/ memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for(int i = 1; i <= N; ++ i) for(int j = 1; j <= i; ++ j){ dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]; } out[2] = dp[n][k]; /*****************整數劃分（五）******************/ memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for(int i = 0; i <= n; ++ i) for(int j = 1; j <= n; ++ j){ if(j&1){ if(j>i)dp[i][j] = dp[i][i]; else dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i][j-1]; } else dp[i][j] = dp[i][j-1]; } out[4] = dp[n][n]; /*****************整數劃分（一）******************/ memset(dp,0,sizeof(dp)); dp[0][0] = 1; for(int i = 0; i <= n; ++ i) for(int j = 1; j <= n; ++ j){ if(j>i)dp[i][j]=dp[i][i]; else dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1]; } out[5] = dp[n][n]; /*****************輸出******************/ for(int i = 1; i<= 5; ++ i) printf("%d\n",out[i]); printf("\n"); } return 0; } /* /*****（一）將n劃分成若干不同整數之和的劃分數************ dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 dp[0][0] = 1 dp[i][j] = dp[i-j][j-1] + dp[i][j-1];(j<=i) = dp[i][i] (j >i) =>ans = dp[n][n] /*****（二）將n劃分成若干正整數之和的劃分數************* dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 與（一）區別，j可重複 dp[0][0] = 1 dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) = dp[i][i] (j >i) =>ans = dp[n][n] /*****（三）將n劃分成k個正整數之和的劃分數************* dp[i][j]表示將整數i劃分成j個正整數的劃分數，考慮j組數中含不含1 dp[0][0] = 1 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-j][j]; 如果不包含1，那麼每組數至少為2，從每堆數中各拿出1還能夠成j堆數dp[i-j][j] =>ans = dp[n][k] /*****（四）將n劃分成最大數不超過k的劃分數************ dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 是（二）的特例 dp[0][0] = 1 dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) = dp[i][i] (j >i) =>ans = dp[n][k] /*****（五）將n劃分成若干個 奇正整數之和的劃分數****** dp[i][j]表示將整數i劃分成不超過j的劃分數，分含不含j兩種情況 dp[0][0] = 1; j是奇數，正常判斷 dp[i][j] = dp[i-j][j] + dp[i][j-1];(j<=i) = dp[i][i] (j >i) j是偶數,dp[i][j] = dp[i][j-1]//往下遞推 =>ans = dp[n][n] */