1.寫在前面的話

攝像機通過成像透鏡將三維場景投影到攝像機二維像平面上，這個投影可以用成像變換進行表示，也就是我們平常說的攝像機投影模型。攝像機成像模型有不同的描述方式。這裡僅僅總結了機器視覺中常用的座標系，然後主要分析了攝像機的線性模型和非線性模型。

2.座標系描述：影象座標系、攝像機座標系、世界座標系

攝像機採集的影象以標準的電視訊號的形式經高速影象採集系統變換為數字影象，並輸入計算機。每幅影象都是M*N陣列，M行N列的影象中的每一個元素（也就是畫素）的數值就是影象點的亮度（也就是影象灰度）。如下圖所示：

(u,v)就是一畫素為單位的影象座標系座標。由於(u,v)只表示畫素位於陣列中的列數和行數，並沒有用物理單位表示出該畫素在影象中的位置。因此，需要在建立以物理單位（如毫米）表示的影象座標系，也就是我們圖中所表示的XOY座標系。在X.Y座標系中，原點O通常定義為攝像機光軸與影象平面的交點，該店一般就位於影象中心處，但由於一些原因，也會發生偏離。二維攝像機座標系到影象座標系的變換可以用下面的矩陣進行刻畫：

那麼，攝像機的成像幾何關係就可以用下圖來刻畫：

其中，O點稱為攝像機光心，x軸和y軸與影象的X軸、Y軸平行，z軸為攝像機光軸，他與影象平面垂直。光軸與影象平面的焦點即為影象座標系的原點，由點O與x、y、z軸構成的直角座標系稱為攝像機座標系。OO1為攝像機焦距。

世界座標系的選取具有任意性。但是我們能夠肯定的就是攝像機座標系到世界座標系的變換是一個3D-3D的變換過程，他們的關係就能夠用旋轉矩陣R和平移向量t進行完美的刻畫。即存在如下關係：

3.針孔成像模型（線性攝像機模型）

針孔成像模型又稱為線性計算機模型。空間任何一點P在影象中的成像位置可以用針孔成像模型近似表示，即任何點P在影象中的投影位置p，為光心O與P點的連線OP與影象平面的交點。這種關係也被稱為中心射影（也就是我們平時說的透射投影 perspective projection）。參考上圖模型，比例關係可以確定如下：

（X,Y）為p點的影象座標；（x,y,z）為空間點P在攝像機座標系下的座標，f為xy平面與影象平面的距離（大多數的時候我們把f稱為攝像機的焦距），上面的關係我們仍能夠用一個矩陣表示：

其中，s是一個比例因子，P就是我們最為關心的透視投影矩陣。

那麼，通過上面的總結，我們就能夠很輕易地得到世界座標系表示下的P點與其在影象座標系下的p點的座標變換關係。具體如下所示：

ax=f/dX:u軸上的尺度因子（平時我們叫u軸上歸一化焦距）；ay=f/dY:為v軸上的尺度因子（平時我們稱v軸上歸一化焦距）。M是投影矩陣；M1由ax,ay,u0,v0四個引數決定（這些引數可是僅僅跟攝像機內部引數有關，所以我們叫攝像機內部引數）

。M2由攝像機相對於世界座標系的方位決定，稱為攝像機外部引數。確定某一攝像機的內外引數，稱為攝像機的標定。

通過上式，我們還能發現一個事兒，如果我們得到了攝像機的內外引數，就拿到了投影矩陣M，這是對於任何空間點P，如果我們知道他在世界座標系下的座標Cw=(Xw,Yw,Zw),就可以準確定位他在影象中的投影位置。但是，反過來這是不成立的，這就是攝像機成像損失了成像深度的理論來源（這也是很多科研工作者進行機器視覺的研究意義）。

4.非線性模型

然而！實際上，由於真實的鏡頭並不是理想的透視成像，而是帶有不同程度的畸變！使得空間點所成的像並不在線性模型所描述的位置（X,Y），而是在受到鏡頭失真影響而偏移實際像平面座標（X',Y'）：

其中，δx和δy是非線畸變值！他與影象點在影象中的位置相關。理論上鏡頭會同時存在徑向畸變和切向畸變。但是一般來講切向畸變變化很小，而徑向畸變的修正由距影象中心的徑向距離的偶次冪多項式模型來表示：

其中，(u0,v0)是主點位置的精確值。而：

上式也說明了一個道理，X方向和Y方向的畸變相對值（δx/X，δy/Y）與徑向半徑平方成正比，即在影象邊緣處畸變較大。對於非精密的機器視覺而言，一屆的徑向畸變已經足夠描述非線性畸變，那麼上式就可以簡寫為：

那麼，此時的非線性模型攝像機內參數就包括：線性模型引數（ax,ay,u0,v0）+非線性畸變引數（k1,k2）